Euler's Eyes
2026-10-11
Projeções e distância
A sombra de um objeto com o Sol a pino é uma projeção ortogonal. Engenheiros transformaram essa ideia num método de desenho usado até hoje.
Quem descobriu
A ideia de projetar figuras sobre um plano é antiga — os relógios de sol já leem a sombra projetada do gnômon. Quem a transformou em método foi o francês Gaspard Monge (1746–1818), criador da geometria descritiva. Monge representava objetos por suas projeções ortogonais em dois planos perpendiculares, a planta e a elevação, e assim resolvia problemas de construção no papel. A distância de um ponto a uma reta como o comprimento da perpendicular é resultado clássico dos Elementos de Euclides.
A história
Monge desenvolveu o método por volta de 1765, como desenhista da escola militar de Mézières, para calcular fortificações sem longas contas. O método foi considerado segredo militar por anos; só depois da Revolução Francesa ele pôde ensiná-lo publicamente, na recém-criada Escola Politécnica de Paris, e publicá-lo em 1799.
Toda planta de arquitetura e todo desenho técnico de peças ainda segue as projeções de Monge. Os programas de modelagem 3D usam projeções para gerar as vistas de frente, de cima e de lado de um objeto.
No dia a dia
- Plantas de imóveis. A planta baixa é a projeção ortogonal da casa no plano do chão.
- Sombra ao meio-dia. Com o Sol a pino, a sombra de uma vara inclinada é a sua projeção no chão — e é sempre menor do que a vara.
- Distância até a estrada. A distância de uma casa até uma estrada reta é medida pela perpendicular, o menor segmento possível.
- Equidistância. O lugar de uma mesa que fique à mesma distância de duas paredes do canto está sobre a bissetriz do ângulo entre elas.
Fontes: Monge (MacTutor) · Elementos, proposição I.12.
Teoria e construções
DefiniçãoProjeção ortogonal
- A projeção (ortogonal) de um ponto $P$ sobre uma reta $r$ é o ponto $P^{\prime}$ em que a perpendicular a $r$ por $P$ corta $r$. Se $P \in r$, então $P^{\prime} = P$.
- A projeção de um segmento $\overline{AB}$ (não perpendicular a $r$) sobre $r$ é o segmento $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$, em que $A^{\prime}$ e $B^{\prime}$ são as projeções de $A$ e $B$.
Segmento perpendicular e segmentos oblíquos
Por um ponto $P$ fora de $r$, traçamos o segmento perpendicular $\overline{PP^{\prime}}$ e segmentos oblíquos $\overline{PA}$, $\overline{PB}$, … até $r$.
PropriedadeComparação de oblíquos
- O segmento perpendicular é menor que qualquer oblíquo (é cateto de triângulos retângulos que têm os oblíquos como hipotenusa).
- Oblíquos com projeções congruentes são congruentes, e reciprocamente (casos LAL e cateto-hipotenusa).
- De dois oblíquos com projeções não congruentes, o de maior projeção é maior, e reciprocamente.
- De dois oblíquos não congruentes, o maior forma com a sua projeção um ângulo menor, e reciprocamente.
Ver as demonstrações dos itens 3 e 4
3. Se $P^{\prime}C > P^{\prime}A$, com $A$ e $C$ do mesmo lado de $P^{\prime}$, então $A$ está entre $P^{\prime}$ e $C$. O ângulo $P\hat{A}C$ é obtuso, pois é externo ao $\triangle PP^{\prime}A$, que tem ângulo reto em $P^{\prime}$. No $\triangle PAC$, $P\hat{A}C$ (obtuso) é maior que $P\hat{C}A$ (agudo), e ao maior ângulo opõe-se o maior lado: $PC > PA$. A recíproca sai por exclusão.
4. Se $PD > PC$, então $P^{\prime}D > P^{\prime}C$. Tome $C^{\prime}$ entre $P^{\prime}$ e $D$ com $P^{\prime}C^{\prime} = P^{\prime}C$; então $P\hat{C^{\prime}}P^{\prime} \equiv P\hat{C}P^{\prime}$. Pelo teorema do ângulo externo no $\triangle PC^{\prime}D$, $P\hat{D}C^{\prime} < P\hat{C^{\prime}}P^{\prime}$, logo $P\hat{D}P^{\prime} < P\hat{C}P^{\prime}$. A recíproca sai por exclusão.
DefiniçãoDistâncias
- A distância de um ponto a uma reta é a distância do ponto à sua projeção sobre a reta: $d_{P,r} = d_{P,P^{\prime}}$. Se $P \in r$, ela é nula.
- A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra: $d_{r,s} = d_{P,s}$, com $P \in r$.
TeoremaParalelas são equidistantes
Se duas retas distintas são paralelas, os pontos de uma delas estão a igual distância da outra.
Ver a demonstração
Sejam $A, B \in r$ e $A^{\prime}, B^{\prime}$ suas projeções em $s$. O ângulo $\hat{A}$ do quadrilátero é colateral de $\hat{A^{\prime}}$, que é reto, então também é reto. Nos triângulos $AA^{\prime}B^{\prime}$ e $B^{\prime}BA$ (com a diagonal comum): $\overline{AB^{\prime}}$ comum, ângulos alternos congruentes e ângulos retos. Por LAAₒ, são congruentes, e $AA^{\prime} = BB^{\prime}$: $d_{A,s} = d_{B,s}$.
Mediatriz e bissetriz: lugares de pontos equidistantes
PropriedadePontos da mediatriz
Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento (caso LAL):
$$(m \text{ é mediatriz de } \overline{AB},\ P \in m) \Rightarrow PA = PB.$$PropriedadePontos da bissetriz
Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo (caso LAAₒ):
$$(s \text{ é bissetriz de } a\hat{O}b,\ P \in s) \Rightarrow d_{P,a} = d_{P,b}.$$Duas propriedades muito usadas
TeoremaÂngulos de lados perpendiculares (exercício 194)
Dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são congruentes ou suplementares.
TeoremaMediana relativa à hipotenusa (exercício 200)
A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa: $AM = \dfrac{BC}{2}$. Assim, $MA = MB = MC$, e os triângulos $AMB$ e $AMC$ são isósceles.
Ver a demonstração do livro
- Tome $P$ na semirreta $\overrightarrow{AM}$, com $M$ entre $A$ e $P$, de modo que $PM = AM$.
- Por LAL, $\triangle AMB \equiv \triangle PMC$. Daí $A\hat{B}M \equiv P\hat{C}M$; como são alternos internos, $\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$.
- De $\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$ e $B\hat{A}C$ reto, $P\hat{C}A$ é reto (colaterais internos).
- Nos triângulos $BAC$ e $PCA$: $BA = PC$, $\hat{A} \equiv \hat{C}$ (retos) e $\overline{AC}$ comum. Por LAL, são congruentes, logo $AP = BC$. Como $AP = 2AM$, vem $AM = \dfrac{BC}{2}$.