Euler's Eyes
2026-10-27
Vetores e escalares: as palavras de Hamilton
Num quatérnio $q = a + bi + cj + dk$ há duas partes de natureza diferente. O número $a$ fica parado na reta dos números reais; a parte $bi + cj + dk$ aponta numa direção do espaço. Em 1846, Hamilton deu nomes a elas: a primeira é o escalar, porque pode ser lido numa escala, de menos a mais; a segunda é o vetor, do latim vector, “o que transporta”, porque leva um ponto até outro. As duas palavras pegaram, e hoje são usadas por quem nunca ouviu falar em quatérnios.
Dois produtos num só
Multiplique dois vetores puros, $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ e $v = v_1 i + v_2 j + v_3 k$, com as regras da ponte. Depois de distribuir os nove produtos e agrupar, o resultado é
$$uv = -(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2)\,i + (u_3 v_1 - u_1 v_3)\,j + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\,k.$$A parte escalar é menos o produto escalar $u \cdot v$; a parte vetorial é o produto vetorial $u \times v$:
$$uv = -\,u \cdot v + u \times v.$$Os dois produtos que todo estudante de física aprende, um que mede o quanto dois vetores apontam para o mesmo lado e outro que dá a direção perpendicular aos dois, nasceram juntos, como as duas metades de uma multiplicação de quatérnios. Hamilton também introduziu o operador diferencial que hoje se escreve $\nabla$, e com ele o gradiente, o divergente e o rotacional apareceram como partes do mesmo símbolo.
Comprimento, ângulo e área
Na notação vetorial moderna, escrevemos $u=(u_1,u_2,u_3)$ e
$$\lVert u\rVert=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},\qquad u\cdot v=\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\cos\theta.$$Para vetores não nulos, isso permite encontrar o ângulo pelas coordenadas: $\cos\theta=(u\cdot v)/(\lVert u\rVert\lVert v\rVert)$. Se o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. O produto vetorial, por sua vez, tem comprimento
$$\lVert u\times v\rVert=\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\operatorname{sen}\theta.$$Esse é o valor da área do paralelogramo formado por eles. Sua direção é perpendicular aos dois e seu sentido segue a regra da mão direita. Para $u=(1,0,0)$ e $v=(0,1,0)$, temos $u\cdot v=0$ e $u\times v=(0,0,1)$: um ângulo reto e um paralelogramo de área 1.
Na física, as duas operações respondem a perguntas diferentes. O trabalho de uma força constante $F$ num deslocamento $s$ é $W=F\cdot s$: só contribui a componente da força ao longo do movimento. Já a força magnética sobre uma carga $e$ com velocidade $v$ é $F_{\mathrm{mag}}=e\,(v\times B)$, perpendicular à velocidade e ao campo $B$. Para uma carga negativa, o sentido se inverte.
Geometria com pontos e deslocamentos
Se $A$ e $B$ são vetores de posição, o deslocamento de $A$ até $B$ é $B-A$. Somar deslocamentos encadeia caminhos:
$$(B-A)+(C-B)=C-A.$$Essa escrita encurta demonstrações de geometria. Se $M=(A+C)/2$ e $N=(B+C)/2$ são os pontos médios de dois lados de um triângulo, então
$$N-M=\frac{B+C}{2}-\frac{A+C}{2}=\frac{B-A}{2}.$$O segmento entre os pontos médios é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento. A prova depende apenas da soma e da multiplicação por escalares; não exige multiplicar quatérnios.
Exercício: as diagonais do paralelogramo
Os vértices consecutivos de um paralelogramo têm posições $A$, $B=A+u$, $C=A+u+v$ e $D=A+v$. Mostre que as diagonais têm o mesmo ponto médio.
O ponto médio de $AC$ é $(A+C)/2=A+(u+v)/2$. O de $BD$ é $(B+D)/2=A+(u+v)/2$. Portanto, as diagonais se cortam ao meio.
Extrair cada produto sem decorar componentes
Trocando a ordem dos vetores puros, temos $vu=-u\cdot v-u\times v$. Somar e subtrair as duas expressões separa os produtos:
$$u\cdot v=-\frac{uv+vu}{2},\qquad u\times v=\frac{uv-vu}{2}.$$Na primeira identidade, o resultado do lado direito é identificado com um escalar real; na segunda, com um vetor puro. O produto escalar captura a parte simétrica da multiplicação, enquanto o vetorial captura a parte que muda de sinal ao inverter a ordem.
A guerra dos quatérnios
Depois da morte de Hamilton, o escocês Peter Guthrie Tait tornou-se o grande defensor dos quatérnios e tentou convencer o amigo James Clerk Maxwell a escrever o eletromagnetismo com eles. Maxwell usou a notação em parte do Tratado de 1873, mas sem entusiasmo. Na década de 1880, o americano Josiah Willard Gibbs e o inglês Oliver Heaviside fizeram o que Hamilton não quis fazer: separaram os dois produtos, jogaram fora o quatérnio inteiro e ficaram só com os vetores, o produto escalar e o produto vetorial. Seguiu-se uma polêmica áspera, nas páginas da revista Nature, entre os partidários das duas notações. Os vetores de Gibbs e Heaviside venceram nos livros de física; os quatérnios voltaram um século depois, nos computadores.
Os quatérnios vieram de Hamilton depois que o seu trabalho realmente bom já tinha sido feito; e, embora belamente engenhosos, foram um mal sem mistura para todos que os tocaram de algum modo, inclusive Clerk Maxwell.
— Lord Kelvin, carta de 1892
Exercício: um produto completo
Calcule $(2i + j)(i - k)$ como produto de quatérnios e confira com o produto escalar e o vetorial.
$(2i + j)(i - k) = 2i^2 - 2ik + ji - jk = -2 + 2j - k - i$. Pela fórmula: $u \cdot v = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 2$ e $u \times v = (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0,\; 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1),\; 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-1, 2, -1)$. Então $uv = -2 - i + 2j - k$. Confere.
Exercício: perpendiculares anticomutam
Mostre que dois vetores $u$ e $v$ são perpendiculares se e só se $uv = -vu$.
Como $u \times v = -\,v \times u$ e $u \cdot v = v \cdot u$, temos $vu = -u \cdot v - u \times v$. Então $uv = -vu$ significa $-u \cdot v + u \times v = u \cdot v + u \times v$, isto é, $u \cdot v = 0$: os vetores são perpendiculares. É por isso que $ij = -ji$.
Fontes: William Rowan Hamilton, “On Quaternions”, Philosophical Magazine (1844–1850) · Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (1967) · J. Willard Gibbs, Elements of Vector Analysis (1881–1884) · Oliver Heaviside, Electromagnetic Theory, vol. 1 (1893).
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