Euler's Eyes
2026-10-11
O legado de Fermat
O pai da teoria dos números
Antes de Fermat, os problemas sobre números inteiros eram vistos como enigmas, quebra-cabeças de Diofanto. Fermat os transformou numa área da matemática, com perguntas profundas e métodos próprios. Durante quase um século, quase ninguém o acompanhou. Foi Euler, a partir de 1730, quem leu as notas de Fermat, provou boa parte delas e fez da teoria dos números um ramo central da matemática. Depois vieram Lagrange, Legendre e Gauss.
Outras descobertas
A lista completa seria longa. Alguns destaques:
- Soma de dois quadrados: um primo ímpar é soma de dois quadrados exatamente quando deixa resto 1 na divisão por 4. Por exemplo, $13=4+9$ e $29=4+25$, mas $7$ e $11$ não são. Fermat anunciou em 1640; Euler provou em 1749.
- Equação de Pell: a equação $x^2-Ny^2=1$, com que Fermat desafiou os ingleses, tem sempre infinitas soluções quando $N$ não é um quadrado.
- Números poligonais: todo número inteiro positivo é soma de no máximo três números triangulares, quatro quadrados, cinco pentagonais, e assim por diante. Lagrange provou o caso dos quadrados em 1770; Gauss, o dos triangulares em 1796.
- Retificação de curvas: Fermat calculou o comprimento de alguns arcos de curva, outro problema que preparou o cálculo.
O caminho até o cálculo
A geometria analítica de Fermat permitiu escrever curvas como equações. Seu método de máximos e mínimos achava tangentes e extremos com uma conta que é, na essência, a derivada. Calculou também áreas sob curvas do tipo $y=x^n$. Faltou apenas perceber que tangentes e áreas são operações inversas, o passo que Newton e Leibniz dariam.
Na física, o princípio do tempo mínimo explica a reflexão e a refração que se estudam na escola, e abriu o caminho para os princípios de otimização da física moderna.
Uma conjectura errada também ensina
Fermat errou ao supor que todos os números $2^{2^n}+1$ são primos. Mesmo assim, a pergunta levou Euler a técnicas novas e reapareceu, de forma inesperada, no polígono de 17 lados de Gauss. Na matemática, uma boa pergunta vale muito, mesmo quando a resposta contraria o palpite.
E o último teorema, com ou sem a prova “maravilhosa” de Fermat, obrigou os matemáticos a criar teorias inteiras para resolvê-lo. A prova de Wiles uniu duas áreas que pareciam distantes, e essas ferramentas hoje são usadas muito além do problema original.
Para lembrar
- Fermat era juiz em Toulouse e fazia matemática por prazer; publicou quase nada em vida.
- Seu nascimento é dado como 1601 ou 1607, porque havia um meio-irmão com o mesmo nome.
- Criou a geometria analítica independentemente de Descartes.
- Seu método de adequação achava máximos e mínimos antes do cálculo de Newton e Leibniz.
- O pequeno teorema diz que $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ para $p$ primo que não divide $a$.
- Conjecturou que todos os $2^{2^n}+1$ são primos; Euler mostrou que $F_5$ é múltiplo de 641.
- Com Pascal, em 1654, fundou a teoria das probabilidades com o problema dos pontos.
- O princípio do tempo mínimo explica a lei da refração.
- A descida infinita prova que certas equações não têm solução em inteiros.
- O último teorema esperou 358 anos e foi provado por Andrew Wiles em 1995.
Fontes: vida e contribuições de Fermat, MacTutor.
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