Euler's Eyes
2026-10-11
Teoremas das bissetrizes
A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados.
Quem descobriu
O teorema da bissetriz interna é a proposição VI.3 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). O da bissetriz externa não está no texto grego: foi acrescentado como “proposição A” do livro VI pelo escocês Robert Simson, em sua edição dos Elementos de 1756, que serviu de base para o ensino de geometria no Reino Unido por mais de um século. As duas bissetrizes estão ligadas ao círculo de Apolônio, estudado por Apolônio de Perga (século III a.C.).
A história
Apolônio mostrou que os pontos cuja razão de distâncias a dois pontos fixos é constante formam uma circunferência. As bissetrizes interna e externa cortam o segmento nos dois pontos que dividem a razão, e esses dois pontos são as extremidades de um diâmetro desse círculo.
A prova de Euclides usa uma paralela à bissetriz e recai no teorema de Tales do tópico anterior. É mais um exemplo de como os resultados dos Elementos se apoiam uns nos outros.
No dia a dia
- Perseguições. O círculo de Apolônio responde onde um perseguidor, com o dobro da velocidade de um fugitivo, consegue alcançá-lo: os pontos de encontro possíveis formam essa circunferência.
- Divisão proporcional. Uma cerca na bissetriz de um canto divide a frente de um terreno triangular na proporção dos outros lados.
- Iluminação. Numa praça com dois postes de potências diferentes, os pontos que recebem a mesma luz de cada um formam um círculo de Apolônio.
- Óptica. Num espelho, o raio refletido forma ângulos iguais com a normal, que funciona como bissetriz entre o raio que chega e o que sai.
Fontes: Elementos, proposição VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apolônio (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaTeorema da bissetriz interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes. Sendo $\overline{AD}$ a bissetriz interna, $DB = x$ e $DC = y$ (com $x + y = a$):
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$Demonstração
- Por $C$ traçamos a paralela à bissetriz $\overline{AD}$, que corta a reta $AB$ em $E$.
- Sejam $\hat{1} = B\hat{A}D$, $\hat{2} = D\hat{A}C$, $\hat{3} = A\hat{E}C$ e $\hat{4} = A\hat{C}E$.
- $\overline{CE} \parallel \overline{AD}$: $\hat{1} \equiv \hat{3}$ (correspondentes) e $\hat{2} \equiv \hat{4}$ (alternos internos).
- Como $\hat{1} \equiv \hat{2}$, temos $\hat{3} \equiv \hat{4}$: o $\triangle ACE$ é isósceles de base $\overline{CE}$, e $AE = AC = b$.
- Pelo teorema de Tales, com as transversais $BC$ e $BE$ e o feixe $AD \parallel CE$: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{c}{b}$, ou seja, $\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$.
TeoremaTeorema da bissetriz externa
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo corta a reta do lado oposto, ela divide esse lado externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes. Sendo $D$ esse ponto, $DB = x$ e $DC = y$ (com $x - y = a$):
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$Se o triângulo é isósceles de base $\overline{BC}$, a bissetriz externa em $A$ é paralela a $\overline{BC}$, e reciprocamente.
A demonstração é igual à anterior: por $C$ traça-se a paralela à bissetriz externa, obtendo-se outra vez um triângulo isósceles $ACE$ com $AE = b$, e aplica-se Tales.