Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

O cercado

Comecemos por um problema que os gregos já sabiam resolver. Com 20 metros de cerca, qual é o retângulo de maior área? Se os lados são $x$ e $y$, queremos o maior valor de

$$f(x,y)=xy\qquad\text{com a restrição}\qquad g(x,y)=x+y=10.$$

Aqui seria fácil isolar $y=10-x$ e maximizar $x(10-x)$. Mas, em muitos problemas, a restrição é uma equação complicada da qual não se consegue isolar nada. Lagrange queria um método que nunca precisasse disso.

Uma letra nova

A receita de Lagrange é acrescentar uma incógnita nova, que hoje chamamos de $\lambda$, o multiplicador, e exigir que as derivadas de $f$ sejam proporcionais às de $g$:

$$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$

No cercado, $\frac{\partial f}{\partial x}=y$, $\frac{\partial f}{\partial y}=x$ e as derivadas de $g$ valem $1$. As equações ficam

$$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10,$$

e então $x=y=5$. O melhor retângulo é o quadrado de 5 por 5, com 25 m² de área. Não foi preciso isolar nada: a restrição entrou como mais uma equação, e $\lambda$ como mais uma incógnita.

Por que funciona

A figura abaixo mostra as curvas em que a área $xy$ tem um valor fixo, 9, 16, 25 e 36, e a reta da restrição $x+y=10$. Andando pela reta, passamos por curvas de área cada vez maior, até a curva de área 25. Depois disso, as áreas voltam a diminuir. A curva 36 nem chega a tocar a reta.

No ponto ótimo, a reta da restrição e a curva de área 25 se tocam sem se cruzar: são tangentes.
No ponto ótimo, a reta da restrição e a curva de área 25 se tocam sem se cruzar: são tangentes.Ilustração de Euler’s Eyes

No ponto ótimo, a reta e a curva de área máxima são tangentes. Se elas se cruzassem, daria para andar mais um pouco pela reta e entrar numa curva de área maior. Tangentes têm a mesma direção, e por isso as derivadas de $f$ e de $g$ são proporcionais ali. O multiplicador $\lambda$ é o fator dessa proporção.

O que λ diz

Lagrange introduziu $\lambda$ como um artifício de cálculo, mas ela tem um significado. No cercado, $\lambda=5$. Se a soma dos lados passar de $s=10$ para um valor $s$ qualquer, a melhor área será a do quadrado de lado $\frac s2$, isto é, $\frac{s^2}{4}$. A taxa de variação dessa área é

$$\frac{d}{ds}\left(\frac{s^2}{4}\right)=\frac s2=5=\lambda.$$

O multiplicador diz quanto se ganha afrouxando a restrição: cada metro a mais na soma dos lados rende cerca de 5 m² a mais de área. Os economistas chamam $\lambda$ de preço-sombra: quanto valeria ter uma unidade a mais do recurso escasso.

Na mecânica, onde Lagrange inventou o método, o multiplicador também tem um sentido físico. Ele é a força da amarração. No pêndulo, se em vez de usar o ângulo como coordenada usarmos $x$ e $y$ com a restrição $x^2+y^2=\ell^2$, o multiplicador que aparece é proporcional à tensão do fio. A força que o método de Lagrange tinha feito desaparecer volta, quando se quer, como uma letra $\lambda$.

Exercício: qual ponto da reta x + 2y = 5 fica mais perto da origem?

Minimizamos o quadrado da distância, $f=x^2+y^2$, com $g=x+2y=5$. As equações são $2x=\lambda$, $2y=2\lambda$ e $x+2y=5$. Das duas primeiras, $y=2x$, e a restrição dá $5x=5$. O ponto é $(1,2)$, a distância é $\sqrt5\approx2{,}24$ e $\lambda=2$.

Exercício: que forma deve ter uma lata cilíndrica para gastar o mínimo de material?

Com raio $r$ e altura $h$, o volume $V=\pi r^2h$ é fixo e queremos minimizar a área $S=2\pi r^2+2\pi rh$. As equações de Lagrange são

$$\begin{aligned}4\pi r+2\pi h&=\lambda\cdot2\pi rh,\\ 2\pi r&=\lambda\cdot\pi r^2.\end{aligned}$$

A segunda dá $\lambda=\frac2r$. Pondo na primeira, $4\pi r+2\pi h=4\pi h$, e então $h=2r$: a altura deve ser igual ao diâmetro. As latas de conserva costumam ficar perto disso. As de refrigerante são mais altas, porque a tampa é mais grossa e cara que a parede, e a conta muda.

Fontes: Joseph-Louis Lagrange, Méchanique analitique (1788) e Théorie des fonctions analytiques (1797) · biografia de Lagrange, MacTutor · Harold W. Kuhn e Albert W. Tucker, “Nonlinear Programming” (1951).

Todos os tópicos de Lagrange · ← A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio · O legado de Lagrange →

Créditos das imagens.