Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo.

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2024 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 166 a 180. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
166 Comparação de preços A
167 Porcentagem B
168 Leitura de gráficos: composição de funções B
169 Potências de 2 (progressão geométrica) A
170 Porcentagem: lucro e faturamento D
171 Sólido de revolução D
172 Área do retângulo D
173 Otimização: quantidade de colunas C
174 Escala e área E
175 Leitura de gráfico de linhas A
176 Porcentagem e número decimal D
177 Função quadrática: área máxima B
178 Representações de números racionais B
179 Função exponencial C
180 Volume do cilindro e do cubo E

Questão 166: Em qual loja comprar os componentes

Enunciado

Um artesão utiliza dois tipos de componentes, X e Y, nos enfeites que produz. Ele sempre compra todos os componentes em uma mesma loja. O quadro apresenta os preços dos dois tipos de componentes nas lojas I e II.

Lojas Preço do componente X (R$) Preço do componente Y (R$)
I 3,00 1,00
II 2,00 4,00

Ele confeccionará enfeites formados por duas unidades do componente X e uma unidade do componente Y e efetuará a compra na loja que oferecer o menor valor total para a confecção de um enfeite.

O artesão efetuará a compra na loja

  • A) I, pois o valor é R$ 7,00.
  • B) I, pois o valor é R$ 4,00.
  • C) II, pois o valor é R$ 6,00.
  • D) I, pois anuncia o componente com o menor preço.
  • E) II, pois o componente X, que é o mais utilizado, tem menor preço.

Resolução

Um enfeite usa 2 X + 1 Y.

1. Custo na loja I:

$$2 \cdot 3{,}00 + 1 \cdot 1{,}00 = 6{,}00 + 1{,}00 = 7{,}00$$

2. Custo na loja II:

$$2 \cdot 2{,}00 + 1 \cdot 4{,}00 = 4{,}00 + 4{,}00 = 8{,}00$$

3. Comparar: R$ 7,00 < R$ 8,00, então a loja I é a mais barata.

Resposta: alternativa A (loja I, R$ 7,00).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (R$ 4,00) soma um X e um Y, esquecendo que são dois X. A alternativa E parece lógica, mas o Y muito mais caro da loja II anula a vantagem do X.

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Questão 167: Conceitos numa maratona de matemática (porcentagem)

Enunciado

João e Felipe participaram, na escola, de uma maratona de matemática na qual, durante uma semana, resolveram 200 questões cada. Nessa maratona, a porcentagem $P$ de acertos de cada participante é convertida em um conceito:

  • insatisfatório: se $0 \leq P < 50$;
  • regular: se $50 \leq P < 60$;
  • bom: se $60 \leq P < 75$;
  • muito bom: se $75 \leq P < 90$;
  • excelente: se $90 \leq P \leq 100$.

João acertou 75% das questões da maratona e Felipe acertou 30% a menos que a quantidade de questões que João acertou.

Os conceitos de João e Felipe foram, respectivamente,

  • A) muito bom e bom.
  • B) muito bom e regular.
  • C) muito bom e insatisfatório.
  • D) bom e regular.
  • E) bom e insatisfatório.

Resolução

1. João. $P = 75$ está na faixa $75 \leq P < 90$: muito bom. Em quantidade, ele acertou

$$0{,}75 \cdot 200 = 150 \text{ questões}$$

2. Felipe. Acertou 30% a menos que a quantidade de João, ou seja, 70% de 150:

$$0{,}70 \cdot 150 = 105 \text{ questões}$$

3. Porcentagem de Felipe:

$$P = \frac{105}{200} = 0{,}525 = 52{,}5 \text{ por cento}$$

Está na faixa $50 \leq P < 60$: regular.

Resposta: alternativa B (muito bom e regular).

Cuidado com a pegadinha: fazer $75 - 30 = 45$ por cento dá “insatisfatório” (alternativa C). Mas os 30% são da quantidade de João (30% de 150 = 45 questões), não 30 pontos percentuais.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 168: Três grandezas relacionadas por gráficos

Enunciado

Três grandezas (I, II e III) se relacionam entre si. Os gráficos a seguir, formados por segmentos de reta, descrevem as relações de dependência existentes entre as grandezas I e II, e entre as grandezas II e III.

O valor máximo assumido pela grandeza III, quando a grandeza I varia de 1 a 3, é

  • A) 1,0.
  • B) 2,5.
  • C) 3,0.
  • D) 3,5.
  • E) 4,0.

Resolução

A ideia é ir em duas etapas: I determina II (primeiro gráfico), e II determina III (segundo gráfico).

1. Valores de II quando I vai de 1 a 3. No primeiro gráfico:

  • de $(0, 0)$ a $(2, 3)$ o segmento sobe 3 em 2, ou seja, $1{,}5$ por unidade. Em $I = 1$: $II = 1{,}5$;
  • de $(2, 3)$ a $(4, 4)$ o segmento sobe 1 em 2, ou seja, $0{,}5$ por unidade. Em $I = 3$: $II = 3{,}5$.

Como o gráfico só sobe, quando I vai de 1 a 3, a grandeza II vai de 1,5 a 3,5.

2. Valores de III quando II vai de 1,5 a 3,5. No segundo gráfico:

  • de $(0, 4)$ a $(3, 1)$ o segmento desce 1 por unidade: $III = 4 - II$. Em $II = 1{,}5$: $III = 2{,}5$. Em $II = 3$: $III = 1$;
  • de $(3, 1)$ a $(4, 3)$ o segmento sobe 2 por unidade. Em $II = 3{,}5$: $III = 1 + 2 \cdot 0{,}5 = 2$.

No intervalo, III desce de 2,5 até 1 e depois sobe até 2.

3. O máximo é o maior desses valores: $2{,}5$ (em $II = 1{,}5$, ou seja, $I = 1$).

Resposta: alternativa B (2,5).

Cuidado com a pegadinha: o intervalo “de 1 a 3” é da grandeza I. Quem usa 1 a 3 direto no segundo gráfico (como se fosse II) encontra máximo 3,0 (alternativa C). E 4,0 (alternativa E) é o máximo do segundo gráfico inteiro, fora do intervalo.

Para revisar, veja Funções de Primeiro Grau.

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Questão 169: Copiar e colar figuras (potências de 2)

Enunciado

Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:

A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.

Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?

  • A) $3 \times 2^{19}$
  • B) $3 \times 2^{20}$
  • C) $3 \times 2^{21}$
  • D) $3 \times 2^{20} - 1$
  • E) $3 \times 2^{20} - 3$

Resolução

Copiar tudo e colar ao lado dobra a quantidade de figuras.

1. Contar as primeiras etapas:

Etapa Figuras Forma
1ª 3 $3 \times 2^0$
2ª 6 $3 \times 2^1$
3ª 12 $3 \times 2^2$
4ª 24 $3 \times 2^3$

2. O padrão. Na etapa $n$, o expoente do 2 é $n - 1$ (uma a menos que o número da etapa, porque na 1ª etapa ainda não houve nenhuma duplicação):

$$\text{figuras na etapa } n = 3 \times 2^{n-1}$$

3. Na 20ª etapa:

$$3 \times 2^{20-1} = 3 \times 2^{19}$$

Resposta: alternativa A ($3 \times 2^{19}$).

Cuidado com a pegadinha: $3 \times 2^{20}$ (alternativa B) conta uma duplicação a mais. São 20 etapas, mas só 19 duplicações: a 1ª etapa é apenas inserir as três figuras.

Para revisar, veja Potenciação dos Números inteiros.

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Questão 170: Gasto médio com bebidas para atingir o lucro

Enunciado

Uma casa de shows terá um evento cujo custo total de produção é de R$ 34 350,00, sendo que comporta 500 pessoas. O preço do ingresso será de R$ 130,00 e, normalmente, 60% das pessoas adquirem meia-entrada, pagando R$ 65,00 pelo ingresso. Além do faturamento proveniente da venda de ingressos, a casa de shows vende, com 60% de lucro, bebidas e petiscos ao público no dia do evento.

Após ter vendido todos os 500 ingressos, constatou-se que a quantidade de meias-entradas vendidas superou em 50% o que estava previsto, impactando o faturamento estimado com a venda de ingressos.

No dia do evento, decidiu-se manter o percentual de 60% de lucro sobre as bebidas e petiscos, pois todo o público que comprou ingresso compareceu ao show. Com isso, espera-se ter lucro de R$ 17 000,00 nesse evento.

Para que se alcance o lucro esperado, o gasto médio por pessoa com bebidas e petiscos, em real, deverá ser de

  • A) 19,50.
  • B) 28,80.
  • C) 34,00.
  • D) 52,00.
  • E) 68,70.

Resolução

1. Quantas meias-entradas foram vendidas. O previsto era 60% de 500:

$$0{,}60 \cdot 500 = 300 \text{ meias-entradas}$$

A quantidade real superou em 50% o previsto:

$$300 \cdot 1{,}5 = 450 \text{ meias-entradas}$$

Logo, foram $500 - 450 = 50$ inteiras.

2. Faturamento com ingressos:

$$450 \cdot 65 + 50 \cdot 130 = 29\thinspace 250 + 6\thinspace 500 = 35\thinspace 750 \text{ reais}$$

3. Lucro com ingressos (faturamento menos custo de produção):

$$35\thinspace 750 - 34\thinspace 350 = 1\thinspace 400 \text{ reais}$$

4. Lucro que falta vir das bebidas e petiscos:

$$17\thinspace 000 - 1\thinspace 400 = 15\thinspace 600 \text{ reais}$$

Por pessoa: $\frac{15\thinspace 600}{500} = 31{,}20$ reais de lucro.

5. Gasto médio por pessoa. O lucro nas bebidas e petiscos é 60% do valor gasto pelo público. Se cada pessoa gasta $g$ reais:

$$0{,}60 \cdot g = 31{,}20 \quad\Rightarrow\quad g = \frac{31{,}20}{0{,}60} = 52$$

Resposta: alternativa D (R$ 52,00).

Cuidado com a pegadinha: a meia-entrada superou “em 50%” o previsto: são $300 + 150 = 450$, e não $60\% + 50\% = 110\%$ do público. E não esqueça de descontar o lucro que já vem dos ingressos (R$ 1 400,00).

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 171: Sólido gerado pela rotação de um trapézio

Enunciado

Para obter um sólido de revolução (rotação de 360° em torno de um eixo fixo), uma professora realizou as seguintes etapas:

  • recortou o trapézio retângulo $PQRS$ de um material rígido;
  • afixou o lado $PS$ do trapézio em uma vareta fixa retilínea (eixo de rotação);
  • girou o trapézio 360° em torno da vareta e obteve um sólido de revolução.

Observe a figura que apresenta o trapézio afixado na vareta e o sentido de giro.

O sólido obtido foi um(a)

  • A) cone.
  • B) cilindro.
  • C) pirâmide.
  • D) tronco de cone.
  • E) tronco de pirâmide.

Resolução

Veja o que cada lado do trapézio gera ao girar em torno de $PS$:

1. Lados $PQ$ e $SR$. São perpendiculares ao eixo (há ângulos retos em $P$ e em $S$). Cada um gira e forma um círculo: $PQ$ gera o círculo de cima, de raio $PQ$; $SR$ gera o de baixo, de raio $SR$, que é maior.

2. Lado $QR$. É inclinado em relação ao eixo e gera uma superfície lateral que vai do círculo menor ao maior.

3. O sólido. Duas bases circulares paralelas, de raios diferentes, ligadas por uma superfície inclinada: é um tronco de cone (um cone com a ponta cortada por um plano paralelo à base).

Resposta: alternativa D (tronco de cone).

Cuidado com a pegadinha: pirâmide e tronco de pirâmide (C e E) têm faces planas e bases poligonais; uma rotação sempre gera superfícies arredondadas. Seria um cilindro (B) se $PQ$ e $SR$ tivessem o mesmo tamanho (retângulo), e um cone (A) se o topo fosse um ponto (triângulo).

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Questão 172: Redução da área do campo do Maracanã

Enunciado

O estádio do Maracanã passou por algumas modificações estruturais para a realização da Copa do Mundo de 2014, como, por exemplo, as dimensões do campo retangular. Para se adaptar aos padrões da Fifa, as dimensões do campo foram reduzidas de 110 m × 75 m para 105 m × 68 m.

Disponível em: http://virgula.uol.com.br. Acesso em: 14 ago. 2013 (adaptado).

Em quantos metros quadrados a área do campo do Maracanã foi reduzida?

  • A) 24
  • B) 35
  • C) 555
  • D) 1 110
  • E) 1 145

Resolução

1. Área antiga:

$$110 \cdot 75 = 8\thinspace 250 \text{ m}^2$$

2. Área nova:

$$105 \cdot 68 = 7\thinspace 140 \text{ m}^2$$

3. Redução:

$$8\thinspace 250 - 7\thinspace 140 = 1\thinspace 110 \text{ m}^2$$

Resposta: alternativa D (1 110 m²).

Cuidado com a pegadinha: multiplicar as reduções dos lados, $5 \cdot 7 = 35$ (alternativa B), não dá a redução da área. E a diferença dos perímetros, $2 \cdot (185 - 173) = 24$ (alternativa A), mede comprimento, não área.

Para revisar, veja Retângulo, Losango e Quadrado.

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Questão 173: Colunas para dividir uma sala

Enunciado

Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.

Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.

Loja Raio (cm) Preço por unidade (R$)
I 5 60
II 10 70
III 12 75
IV 15 90
V 20 120

A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.

A compra será realizada na loja

  • A) I.
  • B) II.
  • C) III.
  • D) IV.
  • E) V.

Resolução

1. O comprimento a cobrir. A fileira de colunas é paralela aos lados de 3 m, então atravessa a sala de uma parede à outra ao longo de $3 \text{ m} = 300 \text{ cm}$.

2. A condição. Com $n$ colunas de diâmetro $d$ há $n + 1$ vãos (um em cada ponta, junto às paredes, e $n - 1$ entre colunas). Cada vão pode ter no máximo 15 cm, então as colunas mais os vãos máximos precisam alcançar os 300 cm:

$$n \cdot d + 15(n + 1) \geq 300 \quad\Rightarrow\quad n \geq \frac{285}{d + 15}$$

3. Menor número de colunas e custo em cada loja ($d = 2 \cdot$ raio):

Loja $d$ (cm) $\frac{285}{d + 15}$ $n$ mínimo Custo (R$)
I 10 11,4 12 $12 \cdot 60 = 720$
II 20 8,14 9 $9 \cdot 70 = 630$
III 24 7,31 8 $8 \cdot 75 = 600$
IV 30 6,33 7 $7 \cdot 90 = 630$
V 40 5,18 6 $6 \cdot 120 = 720$

(Exemplo, loja III: 8 colunas ocupam $8 \cdot 24 = 192$ cm; sobram 108 cm para 9 vãos, 12 cm cada, dentro do limite. Com 7 colunas sobrariam 132 cm para 8 vãos, 16,5 cm cada: acima de 15 cm.)

4. Menor custo: loja III, R$ 600,00.

Resposta: alternativa C (loja III).

Cuidado com a pegadinha: o número de colunas tem de ser inteiro e arredondado para cima (arredondar para baixo deixaria vãos maiores que 15 cm). E lembre que o raio não é o diâmetro: cada coluna ocupa $2r$ na fila.

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Questão 174: Área na maquete (escala)

Enunciado

O arquiteto Renzo Piano exibiu a maquete da nova sede do Museu Whitney de Arte Americana, um prédio assimétrico que tem um vão aberto para a galeria principal, cuja medida da área é 1 672 m².

Considere que a escala da maquete exibida é 1 : 200.

Época, n. 682, jun. 2011 (adaptado).

A medida da área do vão aberto nessa maquete, em centímetro quadrado, é

  • A) 4,18.
  • B) 8,36.
  • C) 41,80.
  • D) 83,60.
  • E) 418,00.

Resolução

1. Escala de área. A escala 1 : 200 vale para comprimentos. Como a área é comprimento × comprimento, a razão entre as áreas é o quadrado:

$$\left(\frac{1}{200}\right)^2 = \frac{1}{40\thinspace 000}$$

2. Converter a área real para cm². Como $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, $1 \text{ m}^2 = 10\thinspace 000 \text{ cm}^2$:

$$1\thinspace 672 \text{ m}^2 = 16\thinspace 720\thinspace 000 \text{ cm}^2$$

3. Área na maquete:

$$\frac{16\thinspace 720\thinspace 000}{40\thinspace 000} = 418 \text{ cm}^2$$

Resposta: alternativa E (418,00 cm²).

Cuidado com a pegadinha: dividir a área por 200 (e não por $200^2$) é o erro mais comum. Outro erro é converter m² em cm² multiplicando por 100 em vez de por 10 000: isso leva a 4,18 (alternativa A).

Para revisar, veja Proporções e Geometria.

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Questão 175: Saldo da balança comercial (gráfico de linhas)

Enunciado

O gráfico apresenta o valor total de exportações e o valor total de importações, ao longo de um período, em bilhão de dólares. O saldo da balança comercial brasileira é dado pelo valor total de exportações menos o valor total de importações num mesmo período.

Considere que os saldos da balança comercial brasileira, nos três meses destacados no gráfico, sejam representados por:

  • $S_1$: saldo em junho de 2009;
  • $S_2$: saldo em janeiro de 2010;
  • $S_3$: saldo em junho de 2010.

A ordenação dos saldos $S_1$, $S_2$ e $S_3$, do maior para o menor, é

  • A) $S_1$, $S_3$ e $S_2$.
  • B) $S_2$, $S_1$ e $S_3$.
  • C) $S_2$, $S_3$ e $S_1$.
  • D) $S_3$, $S_1$ e $S_2$.
  • E) $S_3$, $S_2$ e $S_1$.

Resolução

O saldo é exportações − importações: no gráfico, é a distância vertical da linha preta (exportações) até a linha cinza (importações). Fica positivo quando a preta está acima.

1. Ler os valores (aproximados, pelo gráfico):

Mês Exportações Importações Saldo
jun. 2009 ($S_1$) ≈ 14,5 ≈ 10 ≈ 4,5
jan. 2010 ($S_2$) ≈ 11,3 ≈ 11,6 negativo (≈ −0,3)
jun. 2010 ($S_3$) 17,1 14,8 2,3

Em janeiro de 2010 é o único ponto em que a linha preta fica abaixo da cinza, por isso o saldo é negativo.

2. Ordenar: $S_1 \approx 4{,}5 > S_3 = 2{,}3 > S_2 < 0$.

Resposta: alternativa A ($S_1$, $S_3$ e $S_2$).

Cuidado com a pegadinha: em junho de 2010 os valores são os maiores do gráfico, mas o saldo é a diferença, não o tamanho das exportações. Por isso $S_3$ não é o maior saldo (alternativas D e E).

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Questão 176: Representação decimal de uma porcentagem

Enunciado

Um instituto de pesquisa constatou que, nos últimos dez anos, o crescimento populacional de uma cidade foi de 135,25%.

Qual é a representação decimal da taxa percentual desse crescimento populacional?

  • A) 13 525,0
  • B) 135,25
  • C) 13,525
  • D) 1,3525
  • E) 0,13525

Resolução

“Por cento” significa “dividido por 100”. Então:

$$135{,}25 \text{ por cento} = \frac{135{,}25}{100} = 1{,}3525$$

Dividir por 100 é andar com a vírgula duas casas para a esquerda: $135{,}25 \to 1{,}3525$.

Resposta: alternativa D (1,3525).

Cuidado com a pegadinha: 135,25 (alternativa B) é o próprio número percentual, sem a divisão por 100. Uma taxa maior que 100% gera um decimal maior que 1, o que é normal: a população mais que dobrou.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 177: Galinheiro de maior área (função quadrática)

Enunciado

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos $L$ metro e $C$ metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento $L$ metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

  • A) 85
  • B) 100
  • C) 175
  • D) 200
  • E) 350

Resolução

1. O gasto. São dois lados $L$ a R$ 20,00 o metro e dois lados $C$ a R$ 15,00 o metro. Para a maior área, ele usa todo o dinheiro:

$$2 \cdot 20L + 2 \cdot 15C = 6\thinspace 000 \quad\Rightarrow\quad 40L + 30C = 6\thinspace 000$$

2. Escrever $L$ em função de $C$:

$$L = \frac{6\thinspace 000 - 30C}{40} = 150 - 0{,}75C$$

3. A área é uma função do 2º grau em $C$:

$$A(C) = L \cdot C = (150 - 0{,}75C) \cdot C = 150C - 0{,}75C^2$$

4. Máximo no vértice. A parábola tem concavidade para baixo e raízes $C = 0$ e $C = 200$. O vértice fica no ponto médio das raízes:

$$C = \frac{0 + 200}{2} = 100$$

Então $L = 150 - 0{,}75 \cdot 100 = 75$.

5. Maior lado: entre $C = 100$ e $L = 75$, o maior é 100 m.

(Conferindo o gasto: $40 \cdot 75 + 30 \cdot 100 = 3\thinspace 000 + 3\thinspace 000 = 6\thinspace 000$.)

Resposta: alternativa B (100 m).

Cuidado com a pegadinha: $C = 200$ (alternativa D) é uma raiz da parábola, onde a área é zero ($L = 0$). O máximo fica no meio, entre as raízes.

Para revisar, veja Equação do 2° grau.

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Questão 178: Máquina caça-números (representações de racionais)

Enunciado

Uma professora de matemática utiliza em suas aulas uma “máquina caça-números” para verificar os conhecimentos de seus estudantes sobre representações de números racionais. Essa máquina tem um visor dividido em seis compartimentos e, na lateral, uma alavanca. Cada estudante puxa a alavanca e espera que os compartimentos parem de girar. A partir daí, precisa responder para a professora em quais posições se encontram os números que representam a mesma quantidade.

Um estudante puxou a alavanca, aguardou que os compartimentos parassem de girar e observou os números apresentados no visor. A configuração da máquina naquele instante está apresentada na imagem.

Esse estudante respondeu corretamente à pergunta da professora.

As posições indicadas pelo estudante foram

  • A) I, II e IV.
  • B) II, IV e V.
  • C) II, III e V.
  • D) III, V e VI.
  • E) III, IV e VI.

Resolução

Calculamos o valor de cada compartimento:

Posição Número Valor
I $4^{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{4} = 2$
II $4\frac{1}{2}$ $4 + \frac{1}{2} = 4{,}5$
III $\frac{10}{45}$ $\frac{2}{9} \approx 0{,}22$
IV $\frac{18}{4}$ $\frac{9}{2} = 4{,}5$
V $4{,}5$ $4{,}5$
VI $\frac{4}{5}$ $0{,}8$

As três posições com o mesmo valor (4,5) são II, IV e V.

Resposta: alternativa B (II, IV e V).

Cuidado com a pegadinha: $4^{\frac{1}{2}}$ (potência com expoente fracionário, igual a $\sqrt{4} = 2$) é bem diferente de $4\frac{1}{2}$ (número misto, igual a 4,5). Quem confunde os dois marca a posição I (alternativa A).

Para revisar, veja Raiz Enésima.

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Questão 179: Resfriamento de uma caneca (função exponencial)

Enunciado

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura $T$, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo $t$, em minuto, pode ser modelada pela função $T(t) = a + 80 b^t$, representada no gráfico a seguir.

Os valores das constantes $a$ e $b$ são

  • A) $a = 20; \quad b = \log(0{,}5)$
  • B) $a = 100; \quad b = 0{,}5$
  • C) $a = 20; \quad b = (0{,}5)^{\frac{1}{10}}$
  • D) $a = 20; \quad b = \dfrac{(40)^{\frac{1}{10}}}{80}$
  • E) $a = 20; \quad b = 40$

Resolução

Usamos dois pontos que dá para ler com precisão no gráfico: $(0, 100)$ e $(20, 40)$.

1. Em $t = 0$: qualquer número (não nulo) elevado a zero vale 1, então

$$T(0) = a + 80 \cdot b^0 = a + 80 = 100 \quad\Rightarrow\quad a = 20$$

2. Em $t = 20$:

$$T(20) = 20 + 80 b^{20} = 40 \quad\Rightarrow\quad 80 b^{20} = 20 \quad\Rightarrow\quad b^{20} = \frac{1}{4}$$

3. Isolar $b$ (raiz de índice 20, ou seja, elevar a $\frac{1}{20}$):

$$b = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{20}} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{20}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{20}} = (0{,}5)^{\frac{1}{10}}$$

(Conferindo com o gráfico em $t = 10$: $T(10) = 20 + 80 \cdot (0{,}5)^{1} = 20 + 40 = 60$, que é o valor mostrado.)

Resposta: alternativa C ($a = 20$ e $b = (0{,}5)^{\frac{1}{10}}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B troca $a$ pela temperatura inicial (100). Mas $T(0) = a + 80$, então $a$ é a temperatura para a qual a caneca tende com o tempo (a do ambiente), e não a inicial.

Para revisar, veja Potência com Expoente Negativo e Raiz Enésima.

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Questão 180: Aresta do cubo com 80% do volume do cilindro

Enunciado

Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo 3 cm, e altura medindo 15 cm. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a 80% da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente.

Use 3 como valor aproximado para $\pi$.

A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser

  • A) 6
  • B) 18
  • C) $6\sqrt{6}$
  • D) $6\sqrt[3]{6}$
  • E) $3\sqrt[3]{12}$

Resolução

1. Volume do cilindro ($V = \pi r^2 h$, com $\pi = 3$):

$$V_{cil} = 3 \cdot 3^2 \cdot 15 = 3 \cdot 9 \cdot 15 = 405 \text{ cm}^3$$

2. Volume do cubo (80% disso):

$$V_{cubo} = 0{,}8 \cdot 405 = 324 \text{ cm}^3$$

3. Aresta. O volume do cubo é $x^3$:

$$x^3 = 324 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt[3]{324}$$

4. Simplificar a raiz. Fatorando, $324 = 27 \cdot 12 = 3^3 \cdot 12$:

$$x = \sqrt[3]{3^3 \cdot 12} = 3\sqrt[3]{12} \approx 6{,}87 \text{ cm}$$

Resposta: alternativa E ($3\sqrt[3]{12}$ cm).

Cuidado com a pegadinha: a aresta do cubo vem de uma raiz cúbica (volume = aresta³). As alternativas com raiz quadrada ou sem raiz não representam $\sqrt[3]{324}$: por exemplo, $6^3 = 216$ e $18^3 = 5\thinspace 832$.

Para revisar, veja Raiz Enésima.

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