Euler's Eyes
2026-10-11
Potência de ponto
Duas cordas que se cruzam dentro de uma circunferência: o produto das partes de uma é igual ao produto das partes da outra. Com essa ideia se calcula até a distância do horizonte.
Quem descobriu
As duas formas clássicas estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição III.35, sobre cordas que se cortam, e a III.36, sobre uma secante e uma tangente traçadas do mesmo ponto exterior. O nome potência de um ponto foi criado bem depois, em 1826, pelo suíço Jakob Steiner, que percebeu que o produto é sempre o mesmo, qualquer que seja a reta traçada pelo ponto.
A história
Steiner foi um dos grandes nomes da geometria sintética do século XIX. Filho de camponeses, só aprendeu a escrever aos 14 anos e acabou professor na Universidade de Berlim. Para ele, a potência de um ponto era uma forma de reunir vários teoremas de Euclides numa única ideia.
O conceito leva a outros: o eixo radical de duas circunferências é o lugar dos pontos com a mesma potência em relação às duas, ferramenta usada até hoje em problemas de tangência.
No dia a dia
- Distância do horizonte. De uma altura $h$ acima do mar, a tangente até o horizonte mede $d$, com $d^2 = h(2R + h)$, em que $R$ é o raio da Terra (III.36). A 1,7 m de altura, o horizonte fica a cerca de 4,7 km.
- Raio de um arco. Medindo a corda $c$ e a flecha $s$ (a altura do arco), o raio é $r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$. Restauradores usam isso para reconstruir arcos e janelas antigas.
- Curvas de estrada. Topógrafos calculam o raio de uma curva da mesma forma, com uma corda e uma flecha medidas no asfalto.
- Lentes e espelhos. O raio de curvatura de uma lente é obtido medindo a profundidade de um trecho de diâmetro conhecido.
Fontes: Elementos, proposição III.35 · Elementos, proposição III.36 · Steiner (MacTutor).
Teoria e construções
Por um ponto $P$ passam duas retas que cortam uma circunferência $\lambda$ em $A$, $B$ e em $C$, $D$. Há dois casos: $P$ interior (as retas formam cordas que se cortam em $P$) ou $P$ exterior (temos “segmentos secantes” $\overline{PA}$ e $\overline{PC}$, com partes exteriores $\overline{PB}$ e $\overline{PD}$).
TeoremaCordas e secantes
Nos dois casos,
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD.$$- Cordas: se duas cordas se cortam, o produto das partes de uma é igual ao produto das partes da outra.
- Secantes: se de um ponto exterior conduzimos dois segmentos secantes, o produto de cada um pela sua parte exterior é o mesmo.
Demonstração. Nos triângulos $PAD$ e $PCB$, o ângulo em $P$ é comum (ou o.p.v.) e $\hat{A} \equiv \hat{C}$ (inscritos que enxergam o mesmo arco $\overset{\frown}{BD}$). Pelo caso AA, $\triangle PAD \sim \triangle PCB$, logo $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB}$, isto é, $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.
DefiniçãoPotência de um ponto
Fixados $P$ e a circunferência, o produto $PA \cdot PB$ é o mesmo para qualquer corda (ou secante) que passe por $P$. Esse número é a potência de $P$ em relação à circunferência. Se $P$ é exterior e $\overline{PT}$ é tangente (os triângulos $PAT$ e $PTB$ são semelhantes):
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD = \cdots = PT^2.$$Em termos do raio $r$ e da distância $d = PO$: a potência vale $|d^2 - r^2|$ (exercício 499).
