Um carro sai de São Paulo e chega a Campinas, a 90 km, em uma hora. A velocidade média foi 90 km/h. Mas o velocímetro, a cada instante, mostrava outro número. O que exatamente ele mede? Velocidade é distância dividida por tempo, mas num instante não se percorre distância nenhuma e não passa tempo nenhum. Dividir zero por zero não dá resposta.

Essa era a pergunta que Newton queria responder em 1665. A resposta dele foi o método das fluxões.

Grandezas que fluem

Newton imaginava cada grandeza variável como algo que flui com o tempo, como a água num rio. A grandeza que flui ele chamou de fluente; a velocidade com que ela flui, de fluxão. Para marcar a fluxão, pôs um pontinho em cima da letra. Na Quadratura curvarum, publicada em 1704, ele escreveu:

Sejam $x$, $y$, $z$ quantidades fluentes; suas fluxões serão designadas, respectivamente, por $\dot x$, $\dot y$, $\dot z$.

— Isaac Newton, Quadratura curvarum (1704)

Se $x$ é a posição, $\dot x$ é a velocidade. Em outras palavras, a velocidade “flui” do espaço. Dois pontos, $\ddot x$, indicam a fluxão da fluxão: a aceleração.

A conta de Newton

Para descobrir como $y=x^2$ muda, Newton deixava passar um intervalo de tempo minúsculo, que chamava de $o$. Nesse intervalo, $x$ vira $x+\dot x\,o$ e $y$ vira $y+\dot y\,o$. Como a relação $y=x^2$ continua valendo:

$$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$

Tirando $y=x^2$ dos dois lados e dividindo por $o$:

$$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$

Agora o passo ousado: como $o$ é “infinitamente pequeno”, Newton descartava o último termo. Sobra $\dot y=2x\dot x$, ou seja, $y$ muda $2x$ vezes mais rápido que $x$.

A mesma conta, hoje

Com limites, refazemos o argumento sem fantasmas. A inclinação da secante entre $x$ e $x+h$, com $h\neq0$, é

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.$$

Primeiro simplificamos, enquanto $h$ ainda não é zero. Só depois perguntamos de que valor $2x+h$ se aproxima quando $h$ fica cada vez menor. A resposta é $2x$:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x.$$

Na figura, a reta que corta a curva em dois pontos é a secante. Diminua $h$ e veja a secante girar até coincidir com a tangente.

xy = x²

Diminua h. Em x = 1, a inclinação da secante aproxima-se de 2, a inclinação da tangente tracejada.

Posição, velocidade e aceleração

O método das fluxões nasceu para o movimento. Suponha que a posição de um corpo, em metros, seja

$$S=12-7t+t^2.$$

A fluxão de $S$ é a velocidade, e a fluxão da velocidade é a aceleração:

$$\dot S=-7+2t,\qquad \ddot S=2\ \text{m/s}^2.$$

No começo a velocidade é negativa: o corpo anda para trás. Em $t=3{,}5$ s, $\dot S=0$ e ele para por um instante. Depois volta a andar para a frente, cada vez mais rápido. Esse instante de velocidade zero é o ponto mais baixo da curva de $S$, o que mostra que as fluxões também servem para achar máximos e mínimos.

As unidades ajudam a conferir as contas. Para que $S=12-7t+t^2$ dê metros, cada termo precisa estar em metros: o $12$ é medido em m, o $7$ em m/s e o coeficiente $1$ de $t^2$ em m/s². Cada fluxão divide por mais um segundo: $\dot S$ sai em m/s e $\ddot S$ em m/s². Se uma conta somar metros com metros por segundo, há um erro em algum lugar. Essa checagem, a análise dimensional, é uma das ferramentas mais simples e mais úteis da física.

Fluxões, derivadas e Leibniz

Folha de rosto de *The Method of Fluxions and Infinite Series* (Londres, 1736), a tradução inglesa de John Colson para o tratado que Newton escrevera em latim por volta de 1671.
Folha de rosto de The Method of Fluxions and Infinite Series (Londres, 1736), a tradução inglesa de John Colson para o tratado que Newton escrevera em latim por volta de 1671.Isaac Newton, trad. John Colson (1736) · Wikimedia Commons · domínio público

O tratado de Newton sobre fluxões ficou pronto por volta de 1671, mas só foi publicado em 1736, depois da sua morte. Enquanto isso, Leibniz chegou de forma independente às mesmas ideias e publicou primeiro, em 1684, com outra notação: $\dfrac{dy}{dx}$. Hoje usamos a notação de Leibniz no cálculo e o pontinho de Newton na física, para derivadas em relação ao tempo.

Exercício: qual é a inclinação de y = x² em x = 3?

A derivada é $2x$, então a inclinação vale $6$. A tangente nesse ponto é $y-9=6(x-3)$, ou $y=6x-9$.

Exercício: se S = 5t², quanto valem a velocidade e a aceleração em t = 2?

$\dot S=10t$, então a velocidade em $t=2$ é $20$. A aceleração $\ddot S=10$ é constante.

Fontes: manuscritos sobre séries e fluxões no Newton Project · Newton e o cálculo, MacTutor.

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