Euler's Eyes
2026-10-11
Baricentro — medianas
As três medianas de um triângulo se encontram num ponto: o baricentro, onde uma placa triangular fica equilibrada na ponta de um dedo.
Quem descobriu
Arquimedes de Siracusa (c. 287–212 a.C.) é o nome ligado ao baricentro. Em Sobre o equilíbrio dos planos, ele provou que o centro de gravidade de um triângulo está sobre a reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto — a mediana — e, portanto, no encontro das três medianas. A palavra baricentro é bem mais recente: vem do grego barys, “pesado”, e foi usada no século XIX pelo alemão August Möbius, no livro O cálculo baricêntrico (1827).
A história
O raciocínio de Arquimedes mistura geometria e física. Ele imagina o triângulo cortado em faixas finíssimas paralelas a um lado; o centro de cada faixa fica no seu ponto médio, e todos esses pontos médios estão sobre a mediana. Então o triângulo inteiro se equilibra sobre ela. Repetindo o argumento para outra mediana, o ponto de equilíbrio tem de ser o cruzamento das duas.
A divisão de cada mediana na razão 2 : 1, demonstrada neste tópico, é outra consequência do mesmo ponto de equilíbrio. A frase atribuída a ele — “deem-me um ponto de apoio e moverei o mundo” — fala de alavancas, mas mostra o mesmo interesse: transformar problemas de equilíbrio em geometria.
No dia a dia
- Equilibrar no dedo. Uma placa triangular de papelão de espessura uniforme fica em equilíbrio quando apoiada exatamente no baricentro.
- Móbiles. Artistas como Alexander Calder penduravam cada peça pelo centro de gravidade para que ficasse na posição desejada.
- Carros e caminhões. Engenheiros calculam o centro de gravidade dos veículos; quanto mais baixo, menor o risco de capotar.
- Carregar uma bandeja. Quem leva uma bandeja triangular cheia apoia a mão perto do centro para não derrubar nada.
Fontes: Arquimedes (MacTutor) · Möbius (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaConcorrência das medianas
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto, que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra:
$$\overline{AM_1} \cap \overline{BM_2} \cap \overline{CM_3} = \lbrace G \rbrace, \qquad AG = 2 \cdot GM_1,\quad BG = 2 \cdot GM_2,\quad CG = 2 \cdot GM_3.$$Demonstração
- Seja $X$ o ponto de encontro das medianas $\overline{BM_2}$ e $\overline{CM_3}$, e $D$, $E$ os pontos médios de $\overline{BX}$ e $\overline{CX}$.
- No $\triangle ABC$, $\overline{M_3M_2}$ é base média: $\overline{M_3M_2} \parallel \overline{BC}$ e $M_3M_2 = \dfrac{BC}{2}$.
- No $\triangle XBC$, $\overline{DE}$ é base média: $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ e $DE = \dfrac{BC}{2}$.
- Logo $\overline{M_3M_2}$ e $\overline{DE}$ são paralelos e congruentes: $M_3M_2ED$ é paralelogramo, e suas diagonais se cortam ao meio: $DX = XM_2$ e $EX = XM_3$.
- Então $BX = BD + DX = 2 \cdot XM_2$ e $CX = 2 \cdot XM_3$.
- Repetindo com as medianas $\overline{AM_1}$ e $\overline{CM_3}$, obtemos um ponto $Y$ com $CY = 2 \cdot YM_3$. Como $X$ e $Y$ dividem $\overline{CM_3}$ na mesma razão, $X = Y = G$: as três medianas passam por $G$.
DefiniçãoBaricentro
O ponto de encontro das três medianas é o baricentro $G$ do triângulo. Ele fica a $\dfrac{2}{3}$ de cada mediana a partir do vértice: $GM_1 = \dfrac{1}{3}AM_1$, $GM_2 = \dfrac{1}{3}BM_2$, $GM_3 = \dfrac{1}{3}CM_3$. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.