Das palavras às letras: a álgebra aprende a escrever

Em Bagdá, por volta do ano 820, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi trabalhava na Casa da Sabedoria, a grande biblioteca do califa al-Ma’mun. Ali escreveu um livro com um título longo, O livro compendioso sobre o cálculo por restauração e balanceamento. “Restauração”, em árabe, é al-jabr. Da palavra nasceu álgebra.

O livro inteiro não tem um único símbolo. Nem $x$, nem $+$, nem $=$. Até os números são escritos por extenso. Um dos problemas mais famosos é este:

Um quadrado e dez raízes do mesmo igualam trinta e nove dirhams. Toma a metade das raízes, que é cinco; multiplica-a por si mesma, dá vinte e cinco; soma a trinta e nove, dá sessenta e quatro. Toma a raiz disso, que é oito, e subtrai a metade das raízes, que é cinco. Resta três: é a raiz do quadrado procurado.

— al-Khwarizmi, c. 820 (paráfrase)

Hoje escreveríamos o problema como $x^2+10x=39$ e a resposta como $x=3$. A receita de al-Khwarizmi é exatamente o que chamamos de completar o quadrado, e ele a justificava com uma figura: um quadrado de lado $x$, dois retângulos de $5\times x$ encostados nele e um quadradinho de $5\times5$ que falta para fechar um quadrado maior, de lado $x+5$ e área $39+25=64$.

Esse modo de escrever é chamado de álgebra retórica: tudo em frases. Funciona, mas tem um preço. Cada problema é contado como uma pequena história com números específicos, e o leitor precisa perceber sozinho que a mesma receita serve para outros números. A regra geral está escondida dentro do exemplo.

Abreviar: a álgebra sincopada

Muito antes, em Alexandria, no século III, Diofanto já tinha dado um passo noutra direção. Na sua Aritmética, ele usava uma letra parecida com $\varsigma$ para o número desconhecido, $\Delta^{\Upsilon}$ (de dýnamis, potência) para o quadrado e $K^{\Upsilon}$ (de kýbos, cubo) para o cubo. Para subtrair, usava um sinal que lembra uma seta invertida. Uma expressão como $x^3-2x^2+10x-1$ ficava mais ou menos assim:

(os números gregos eram escritos com letras com um traço em cima: $\overline{\alpha}=1$, $\overline{\beta}=2$, $\overline{\iota}=10$; e $M$ marcava as unidades). Essa escrita a meio caminho, com abreviações mas sem uma gramática completa de símbolos, chama-se álgebra sincopada. Diofanto só tinha um nome para incógnita, e por isso cada problema com duas incógnitas precisava de um truque para virar um problema com uma só.

Viète: letras para o que não se sabe e para o que se sabe

A grande virada veio na França, em 1591. François Viète, advogado e conselheiro do rei, que nas horas vagas decifrava as cartas cifradas dos espanhóis, publicou a Introdução à arte analítica. Sua ideia parece pequena: usar vogais ($A$, $E$, …) para as quantidades desconhecidas e consoantes ($B$, $C$, $D$, …) para as quantidades conhecidas, mas quaisquer.

A segunda metade é a revolucionária. Al-Khwarizmi resolvia “um quadrado e dez raízes igualam trinta e nove”. Viète podia escrever algo como “$A$ quadrado mais $B$ vezes $A$ igual a $Z$ plano” e resolver todas as equações desse tipo de uma vez. A letra $B$ não é um número desconhecido que se vai descobrir: é qualquer número, e a resposta vem escrita em termos dele. Pela primeira vez, a própria receita virou um objeto que se podia escrever, olhar e transformar. Viète chamou isso de logistica speciosa, o cálculo com espécies (formas), em oposição à logistica numerosa, o cálculo com números.

Descartes: o alfabeto de hoje

Em 1637, René Descartes publicou A Geometria como apêndice do Discurso do método. Ali aparecem as convenções que usamos até hoje: as últimas letras do alfabeto ($x$, $y$, $z$) para as incógnitas e as primeiras ($a$, $b$, $c$) para as quantidades conhecidas, além dos expoentes numéricos para potências: $x^3$, $x^4$. Curiosamente, ele ainda preferia escrever $xx$ em vez de $x^2$, que não ocupava mais espaço, e para a igualdade usava um sinal próprio, parecido com $\propto$, e não o $=$.

Com isso, a expressão $ax^2+bx+c=0$ deixa de ser uma frase sobre números particulares e passa a representar uma família inteira de equações. Dá para fatorar, completar o quadrado e chegar à fórmula que resolve todas de uma vez:

Compare essa linha com a página de al-Khwarizmi. O conteúdo é o mesmo procedimento; a escrita é outra, e com ela vieram perguntas que antes nem se podiam formular, como “o que acontece quando $b^2-4ac$ é negativo?”.

Quatro escritas, uma equação

A passagem não foi uma marcha triunfal em linha reta. As formas conviveram por séculos, e muita gente boa resolveu problemas difíceis em palavras. Mas cada passo dessa tabela tornou visível algo que antes ficava na cabeça de quem calculava: primeiro a incógnita, depois os dados genéricos, depois a estrutura inteira da equação.

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