Euler's Eyes
2026-10-14
A espiral maravilhosa e a lemniscata
Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob.
A espiral que não muda de forma
A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é
$$r=a\,e^{b\theta}.$$A cada volta completa, o ângulo aumenta $2\pi$ e o raio é multiplicado sempre pelo mesmo fator, $e^{2\pi b}$. Por isso as voltas não são igualmente espaçadas: cada uma é maior que a anterior na mesma proporção.
Daí vem a propriedade que encantou Jakob. Girar a espiral de um ângulo $\alpha$ tem o mesmo efeito que ampliá-la pelo fator $e^{b\alpha}$. Se você amplia uma fotografia dessa espiral, o resultado é a mesma espiral, só que girada. Ela é igual a si mesma em todas as escalas.
O ângulo constante
Num ponto da espiral, o raio que vem do centro e a tangente à curva fazem um ângulo $\psi$. Quando o ângulo $\theta$ aumenta um pouquinho, $d\theta$, o ponto anda $r\,d\theta$ na direção perpendicular ao raio e $dr$ ao longo do raio. Então
$$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$O $r$ se cancela: o ângulo é o mesmo em todos os pontos. Por isso a curva também é chamada de espiral equiangular. Um inseto que voa mantendo um ângulo fixo com uma lâmpada, como se diz que as mariposas fazem com a Lua, descreve uma espiral dessas e acaba caindo na lâmpada.
Jakob descobriu mais. A curva formada pelos centros de curvatura da espiral é outra espiral logarítmica igual à primeira. Os raios de luz que saem do centro e se refletem na espiral formam, de novo, uma espiral igual. Por toda parte que ele olhava, a curva renascia igual. Chamou-a de spira mirabilis, a espiral maravilhosa.
A natureza gosta dessa curva pelo mesmo motivo. Um animal que cresce acrescentando camadas sem mudar de forma, como o náutilo, produz uma concha em espiral logarítmica. Os braços de muitas galáxias e as nuvens de um furacão seguem formas parecidas.
A lemniscata: um oito deitado
Em 1694, num artigo das Acta Eruditorum, Jakob apresentou uma curva nova. Escolha dois pontos fixos, os focos $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$. Na elipse, a soma das distâncias de um ponto aos focos é constante. Jakob trocou a soma pelo produto:
$$PF_1\cdot PF_2=c^2.$$Com $P=(x,y)$, as distâncias ao quadrado são $(x+c)^2+y^2$ e $(x-c)^2+y^2$. Escrevendo cada uma como $(x^2+y^2+c^2)\pm2cx$, o produto é uma diferença de quadrados:
$$\begin{aligned}&\left(x^2+y^2+c^2\right)^2-4c^2x^2=c^4\\ &\Longrightarrow\ (x^2+y^2)^2+2c^2(x^2+y^2)-4c^2x^2=0\\ &\Longrightarrow\ \boxed{(x^2+y^2)^2=2c^2\left(x^2-y^2\right)}\end{aligned}$$A curva tem dois laços que se cruzam na origem, como um oito deitado, ou como o símbolo do infinito, $\infty$. Jakob a chamou de lemniscus, palavra latina para uma fita amarrada em laço, que se pendurava nas coroas dos vencedores.
Uma integral que ninguém sabia fazer
O comprimento de um quarto da lemniscata, com $2c^2=1$, é a integral
$$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\approx1{,}311.$$Parece com $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, que dá um quarto do comprimento do círculo, $\frac\pi2$. Mas a troca de $x^2$ por $x^4$ faz toda a diferença: essa integral não pode ser escrita com as funções conhecidas. A lemniscata virou o laboratório de uma teoria nova, a das integrais elípticas, estudada por Fagnano, por Euler e, um século depois, por Gauss, que encheu cadernos com ela.
Exercício: qual espiral logarítmica dobra de tamanho a cada volta, e qual é o seu ângulo constante?
Dobrar a cada volta significa $e^{2\pi b}=2$, ou seja, $b=\frac{\ln2}{2\pi}\approx0{,}110$. O ângulo constante satisfaz $\tan\psi=\frac1b\approx9{,}06$, então $\psi\approx83{,}7°$. A tangente é quase perpendicular ao raio: a espiral se abre devagar.
Exercício: onde a lemniscata corta o eixo x?
Com $y=0$, a equação fica $x^4=2c^2x^2$. Uma solução é $x=0$, a origem, onde os laços se cruzam. As outras saem de $x^2=2c^2$: $x=\pm c\sqrt2$. Confira: o ponto $(c\sqrt2,0)$ está a $c\sqrt2+c$ de $F_1$ e a $c\sqrt2-c$ de $F_2$, e o produto é $2c^2-c^2=c^2$.
Fontes: Jakob Bernoulli, “Specimen alterum calculi differentialis”, Acta Eruditorum (1691), e “Constructio curvae accessus et recessus aequabilis”, Acta Eruditorum (1694) · Eli Maor, e: A História de um Número, cap. 11 · biografia de Jacob Bernoulli, MacTutor.
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