Vamos deduzir fórmulas que permitem calcular os segmentos notáveis de um triângulo — alturas, medianas, bissetrizes internas, raios das circunferências inscrita e circunscrita — conhecendo apenas as medidas dos lados. Em todas aparece o semiperímetro $p = \frac{a + b + c}{2}$.

A história

A fórmula da área pelos três lados leva o nome de Heron de Alexandria (século I), que a demonstrou na Métrica, um manual de medições práticas. O matemático persa al-Biruni, porém, atribuiu-a a Arquimedes, dois séculos e meio antes. A demonstração de Heron é puramente geométrica, com a circunferência inscrita; a que faremos aqui é algébrica, partindo da lei dos cossenos.

Heron de Alexandria (século I), representação artística posterior.
Heron de Alexandria (século I), representação artística posterior.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público
A eolípila de Heron, num esquema: o vapor sobe pelos tubos, que servem também de eixo, e sai pelos bicos dobrados da esfera, fazendo-a girar.

Fontes: Heron (MacTutor) · Heron, Métrica, livro I, proposição 8.

No dia a dia

  • Área só com uma trena. Um terreno de lados 13 m, 14 m e 15 m tem, pela fórmula de Heron, $p = 21$ e área $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ m² — sem medir nenhum ângulo.
  • A maior fonte redonda. No mesmo terreno, a maior fonte circular que cabe tem raio $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ m: é a circunferência inscrita.
  • Uma antena para três cidades. O ponto equidistante de três cidades é o centro da circunferência circunscrita; com lados de 13, 14 e 15 km, ele fica a $R = \frac{abc}{4S} = \frac{2730}{336} \approx 8{,}1$ km de cada uma.
Um terreno medido só com trena: área de Heron, a maior fonte redonda (círculo inscrito) e o ponto equidistante dos cantos (circuncentro).

Teoria

Alturas

TeoremaAlturas

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$
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Seja $\overline{CD}$ a altura relativa ao lado $c$. No triângulo retângulo $ADC$, $h_c = b\operatorname{sen}\hat{A}$; então, usando a lei dos cossenos,

$$h_c^2 = b^2(1 - \cos^2\hat{A}) = b^2 - b^2\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 = \frac{(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4c^2}.$$

O numerador é uma diferença de quadrados:

$$(2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2) = [(b + c)^2 - a^2][a^2 - (b - c)^2] = (b + c + a)(b + c - a)(a - b + c)(a + b - c).$$

Como $a + b + c = 2p$, $b + c - a = 2(p - a)$, $a - b + c = 2(p - b)$ e $a + b - c = 2(p - c)$:

$$h_c^2 = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4c^2} = \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{c^2}.$$

As outras duas são análogas.

Área: fórmula de Heron

TeoremaFórmula de Heron

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$
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$S = \frac{a h_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2}$; substituindo qualquer uma das alturas acima, obtemos a fórmula.

ExemploO triângulo 13, 14, 15

$p = 21$ e $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$. As alturas são $h_{13} = \frac{168}{13}$, $h_{14} = 12$ e $h_{15} = \frac{56}{5}$.

Medianas

TeoremaMedianas

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$$$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$
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Seja $M$ o ponto médio de $\overline{BC}$. Aplicando a lei dos cossenos aos triângulos $AMB$ e $AMC$, em que os ângulos em $M$ são suplementares (cossenos opostos):

$$c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a\,m_a\cos\theta \qquad b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a\,m_a\cos\theta.$$

Somando, $b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}$, isto é, $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. As outras são análogas.

Bissetrizes internas

TeoremaBissetrizes internas

$$S_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bcp(p - a)}$$$$S_b = \frac{2}{a + c}\sqrt{acp(p - b)}$$$$S_c = \frac{2}{a + b}\sqrt{abp(p - c)}$$
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Seja $\overline{AS}$ a bissetriz interna de $\hat{A}$, com $S$ em $\overline{BC}$, $x = BS$ e $y = SC$. Pela lei dos senos nos triângulos $ABS$ e $ACS$, cujos ângulos em $S$ são suplementares (mesmo seno $\operatorname{sen}\theta$):

$$\frac{x}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{c}{\operatorname{sen}\theta} \qquad \frac{y}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{b}{\operatorname{sen}\theta} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{c} = \frac{y}{b} = \frac{x + y}{b + c} = \frac{a}{b + c},$$

o teorema da bissetriz interna; logo $x = \frac{ac}{b + c}$. Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo $ABS$:

$$S_a^2 = x^2 + c^2 - 2xc\cos\hat{B} = \left(\frac{ac}{b + c}\right)^2 + c^2 - 2\frac{ac}{b + c} \cdot c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$$

Reduzindo ao denominador $(b + c)^2$ e simplificando, o numerador fica $bc[(b + c)^2 - a^2] = bc(a + b + c)(b + c - a) = 4bcp(p - a)$, de onde sai a fórmula.

Raio da circunferência inscrita

TeoremaRaio da circunferência inscrita

$$r = \frac{S}{p} = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$$$$r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = (p - b)\operatorname{tg}\frac{\hat{B}}{2} = (p - c)\operatorname{tg}\frac{\hat{C}}{2}$$
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Ligando o incentro $I$ aos vértices, dividimos $ABC$ em três triângulos $ABI$, $ACI$ e $BCI$, todos com altura $r$:

$$S = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} = \frac{a + b + c}{2} \cdot r = p\,r,$$

e com a fórmula de Heron obtemos a primeira expressão. Para a segunda, sejam $x$, $y$, $z$ os segmentos tangentes traçados de $A$, $B$, $C$ (os dois tangentes de um mesmo vértice são iguais). Então $x + y = c$, $y + z = a$, $z + x = b$, e resolvendo o sistema,

$$x = \frac{b + c - a}{2} = p - a \qquad y = p - b \qquad z = p - c.$$

Como $I$ está na bissetriz de $\hat{A}$, $\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = \frac{r}{x}$, isto é, $r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2}$; e do mesmo modo para os outros vértices.

Raio da circunferência circunscrita

TeoremaRaio da circunferência circunscrita

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$$
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Vimos no tópico anterior que $S = \frac{abc}{4R}$; basta isolar $R$ e usar a fórmula de Heron.

Os exercícios desta seção são os de números 400 a 410 da lista do capítulo.