Soluções num intervalo e equações clássicas

Até aqui resolvemos as equações em $\mathbb{R}$, obtendo famílias infinitas de soluções. Muitas vezes, porém, só interessam as soluções num intervalo — por exemplo, os ângulos de um triângulo, que estão entre $0$ e $\pi$. E certas equações aparecem tanto que ganharam métodos próprios: são as equações clássicas.

A história

A equação $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ é a equação da soma de duas oscilações de mesmo período: ela aparece na astronomia (a combinação de dois movimentos circulares), na física das ondas e na eletricidade (correntes alternadas defasadas). O truque de reescrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ como uma só senoide deslocada — o ângulo auxiliar $\theta$ — já era usado pelos astrônomos do século XVIII. Ele ganhou importância industrial no fim do século XIX, quando o engenheiro Charles Steinmetz mostrou, em 1893, que as correntes alternadas podiam ser somadas como números complexos: cada senoide vira uma seta com comprimento (a amplitude) e inclinação (a fase), e somar oscilações vira somar setas. É exatamente o que fazemos ao escrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$.

Quem foi Charles Steinmetz

Charles Proteus Steinmetz (1865–1923) nasceu em Breslau, na Prússia (hoje Wrocław, na Polônia), com uma deficiência que lhe curvava as costas e o deixava muito baixo. Estudante de matemática, envolveu-se com um jornal socialista e, ameaçado de prisão, fugiu da Alemanha; chegou aos Estados Unidos em 1889 quase sem dinheiro e sem falar inglês. Em poucos anos tornou-se o principal engenheiro da General Electric, em Schenectady, onde ficou conhecido como “o mago de Schenectady”. O seu método dos números complexos tornou possível projetar as redes de corrente alternada que levam eletricidade às casas até hoje. Conta-se que, chamado para consertar uma máquina que ninguém conseguia fazer funcionar, ele a examinou e marcou um X a giz no ponto do defeito. A conta veio alta, e a GE pediu detalhes; Steinmetz teria respondido: “Marcar o X com giz: 1 dólar. Saber onde marcar: 9.999 dólares”.

Os fasores de Steinmetz: $a\operatorname{sen}x + b\cos x$ é a altura de uma seta que gira, e essa seta tem comprimento $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Fontes: Charles Proteus Steinmetz (ETHW) · Trigonometric functions — History (MacTutor).

No dia a dia

Molas e amortecedores. Uma massa presa a uma mola, solta de uma posição e com uma velocidade iniciais, oscila como $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(\omega t + \theta)$: o ângulo auxiliar dá a amplitude do movimento.
Som de dois alto-falantes. Dois alto-falantes com a mesma nota, defasados, somam-se numa só onda; a amplitude depende da defasagem, e em certos pontos da sala o som quase some.
Só as respostas que fazem sentido. Num problema físico, o ângulo de lançamento está entre $0^\circ$ e $90^\circ$: das infinitas soluções da equação, ficamos só com as do intervalo.

Uma massa numa mola: $a\operatorname{sen}t + b\cos t$ é uma única senoide de amplitude $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Teoria

Soluções num intervalo

ResumoRoteiro

Resolva a equação em $\mathbb{R}$, obtendo as famílias de soluções em função de $k \in \mathbb{Z}$.
Atribua a $k$ valores inteiros e conserve as soluções que caem no intervalo pedido (ou resolva a desigualdade em $k$).

Exemplosen 2x = 1/2 em [0, 2π]

$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, isto é, $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$.

$k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$ ou $x = \frac{5\pi}{12}$;
$k = 1$: $x = \frac{13\pi}{12}$ ou $x = \frac{17\pi}{12}$;
$k = -1$ ou $k = 2$: as soluções saem do intervalo.

$S = \left\{\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\right\}$.

A equação a sen x + b cos x = c

Seja a equação $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$, com $a$, $b$, $c$ reais não nulos. Há três métodos clássicos; vamos aplicá-los à mesma equação, $\operatorname{sen} x + \cos x = 1$.

1º método — sistema. Fazendo $\operatorname{sen} x = u$ e $\cos x = v$, resolvemos o sistema

$$a u + b v = c, \qquad u^2 + v^2 = 1.$$

No exemplo: $u + v = 1$ e $u^2 + v^2 = 1$; elevando a primeira ao quadrado, $1 + 2uv = 1$, $uv = 0$. Então $(u, v) = (0, 1)$, que dá $x = 2k\pi$, ou $(u, v) = (1, 0)$, que dá $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

2º método — ângulo auxiliar. Dividindo por $a$ e fazendo $\frac{b}{a} = \operatorname{tg}\theta$:

$$\operatorname{sen} x + \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\cos x = \frac{c}{a} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\cos\theta + \operatorname{sen}\theta\cos x = \frac{c}{a}\cos\theta \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(x + \theta) = \frac{c}{a}\cos\theta,$$

que é uma equação fundamental. No exemplo, $\operatorname{tg}\theta = 1$, $\theta = \frac{\pi}{4}$ e $\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ — as mesmas soluções.

3º método — tangente do arco metade. Com $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$, $\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2}$ e $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ (capítulo VI):

$$a \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = c \;\Longrightarrow\; (c + b)t^2 - 2at + (c - b) = 0.$$

No exemplo, $2t^2 - 2t = 0$: $t = 0$, $\frac{x}{2} = k\pi$, $x = 2k\pi$; ou $t = 1$, $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

AtençãoUma solução pode se perder

A substituição $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ só vale quando $\frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, isto é, $x \ne \pi + 2k\pi$. Por isso é preciso verificar à parte se $x = \pi + 2k\pi$ é solução da equação original: isso acontece quando $-b = c$, e então o coeficiente $c + b$ se anula e a equação em $t$ cai de grau. No exemplo, $\operatorname{sen}\pi + \cos\pi = -1 \ne 1$, e nada se perdeu.

PropriedadeQuando há solução

Pelo 2º método, $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\operatorname{sen}(x + \theta)$, que varia entre $-\sqrt{a^2 + b^2}$ e $\sqrt{a^2 + b^2}$. Logo a equação tem solução se, e somente se, $c^2 \le a^2 + b^2$.

Somas de senos e cossenos iguais a zero

Equações da forma $\operatorname{sen} p \pm \operatorname{sen} q = 0$, $\cos p \pm \cos q = 0$, ou somas maiores desses termos, resolvem-se transformando a soma em produto e anulando cada fator.

Exemplocos x + cos 2x + cos 3x = 0

Agrupando o primeiro e o terceiro termos: $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$. Então

$$2\cos 2x\cos x + \cos 2x = 0 \;\Longrightarrow\; \cos 2x\,(2\cos x + 1) = 0.$$

$\cos 2x = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$;
$\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

Equações com sen⁴x + cos⁴x e sen⁶x + cos⁶x

TeoremaDuas identidades úteis

$$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x$$$$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x$$

Ver as demonstrações

Com $s = \operatorname{sen}^2 x$, $c = \cos^2 x$, $s + c = 1$ e $sc = \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\operatorname{sen}^2 2x$:

$$s^2 + c^2 = (s + c)^2 - 2sc = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x,$$$$s^3 + c^3 = (s + c)^3 - 3sc(s + c) = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x.$$

PropriedadeDiscussão

$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = 2(1 - a)$. Como $0 \le \operatorname{sen}^2 2x \le 1$, há solução se, e somente se, $\frac{1}{2} \le a \le 1$. Usando $\operatorname{sen}^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$, a equação fica $\cos 4x = 4a - 3$.
$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = \frac{4(1 - a)}{3}$. Há solução se, e somente se, $\frac{1}{4} \le a \le 1$, e a equação fica $\cos 4x = \frac{8a - 5}{3}$.

$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x$ (vermelho) oscila entre $\frac{1}{2}$ e $1$; $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x$ (azul), entre $\frac{1}{4}$ e $1$.

Os exercícios desta seção são os de números 215 a 245 da lista do capítulo.

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