Jogue um dado: cada face tem a mesma chance, e o gráfico das probabilidades é plano. Jogue dois e some: a soma 7 é a mais provável, e o gráfico vira um triângulo. Jogue dez, trinta, cem: o gráfico da soma vai ganhando a forma de um sino. O mesmo acontece se, em vez de dados, somarmos moedas, roletas ou erros de medida. Esse fato surpreendente é o teorema do limite central.

De Moivre e Laplace

Em 1733 Abraham de Moivre mostrou o fenômeno para moedas: o número de caras em muitos lançamentos tem distribuição próxima da curva $e^{-x^2}$. Laplace estendeu o resultado, num trabalho de 1810, para somas de acasos quaisquer, desde que independentes e sem que nenhum domine os outros.

Em linguagem moderna: sejam $X_1, X_2, \ldots, X_n$ acasos independentes, todos com a mesma distribuição, de média $\mu$ e variância $\sigma^2$. A soma $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ tem média $n\mu$ e desvio padrão $\sigma\sqrt{n}$, e

$$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$

tem, quando $n$ é grande, distribuição cada vez mais próxima da normal padrão, com densidade $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.

Os dados

Para um dado, $\mu = 3{,}5$ e

$$\sigma^2 = \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}.$$

A soma de $n$ dados tem média $3{,}5\,n$ e desvio padrão $\sqrt{\frac{35n}{12}}$. A figura compara a distribuição exata da soma com a curva normal de mesma média e mesmo desvio. Mova o controle e veja como, já com poucos dados, as duas quase coincidem:

Com 100 dados, a média é 350 e o desvio padrão é $\sqrt{\frac{3500}{12}} \approx 17{,}1$. A chance de a soma ficar entre 330 e 370, cerca de 1,2 desvio para cada lado, é de aproximadamente 76%. Ninguém precisa contar as $6^{100}$ combinações possíveis.

Por que os erros são normais

Laplace via no teorema a explicação de um fato da astronomia. Toda medida tem erro, e o erro é a soma de muitas pequenas causas: o tremor do instrumento, o ar, o olho do observador, a temperatura. Se cada causa contribui um pouco e de forma independente, o teorema diz que o erro total segue a curva normal, qualquer que seja a distribuição de cada causa. Em 1809 Gauss tinha justificado o método dos mínimos quadrados supondo erros normais; o teorema de Laplace, no ano seguinte, deu uma razão para essa suposição.

A página 90 do Ensaio filosófico sobre as probabilidades, onde Laplace descreve sem fórmulas “a lei geral da probabilidade dos resultados indicados por um grande número de observações”.
A página 90 do Ensaio filosófico sobre as probabilidades, onde Laplace descreve sem fórmulas “a lei geral da probabilidade dos resultados indicados por um grande número de observações”.Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · domínio público

Na demonstração, Laplace usou uma ferramenta nova: em vez de trabalhar com as probabilidades, trabalhou com uma transformada delas, o que hoje se chama função característica. A transformada de uma soma independente é o produto das transformadas, e produtos são mais fáceis de controlar que somas. A demonstração de Laplace não tinha o rigor de hoje; as condições exatas foram estabelecidas por Aleksandr Lyapunov em 1901 e Jarl Lindeberg em 1922.

Exercício: cem moedas

Jogamos 100 moedas honestas. Use o teorema do limite central para estimar a chance de o número de caras ficar entre 40 e 60.

Cada moeda vale 1 (cara) ou 0 (coroa), com $\mu = \frac{1}{2}$ e $\sigma^2 = \frac{1}{4}$. A soma tem média 50 e desvio padrão $\sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} = 5$. O intervalo de 40 a 60 vai de $-2$ a $+2$ desvios, e a normal dá cerca de 95% nesse intervalo. O valor exato, contando as combinações, é 96,5%; a diferença diminui se usarmos o intervalo de 39,5 a 60,5, que leva em conta que a soma só assume valores inteiros.

Exercício: a média de muitas medidas

Um instrumento mede um comprimento com erro de desvio padrão 2 mm. Qual é o desvio padrão da média de 25 medidas independentes?

A soma das 25 medidas tem desvio padrão $2\sqrt{25} = 10$ mm. A média é a soma dividida por 25, e o desvio também: $\frac{10}{25} = 0{,}4$ mm. Em geral, a média de $n$ medidas tem desvio $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: para ganhar uma casa decimal de precisão, é preciso medir cem vezes mais.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, “Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres et sur leur application aux probabilités”, Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut (1809, publicado em 1810) · Abraham de Moivre, Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)ⁿ in seriem expansi (1733) · George Pólya, “Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem”, Mathematische Zeitschrift 8 (1920) · Hans Fischer, A History of the Central Limit Theorem (2011).

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