Euler's Eyes
2026-10-14
A primeira proposição: o triângulo equilátero
Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero.
— Euclides, Elementos, Proposição I.1
Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.
A construção
Euclides usa só os três primeiros postulados:
- Com centro em $A$ e raio $AB$, trace um círculo (postulado 3).
- Com centro em $B$ e o mesmo raio $BA$, trace outro círculo (postulado 3).
- Os círculos se cortam num ponto $C$.
- Trace as retas $CA$ e $CB$ (postulado 1).
O triângulo $ABC$ é o triângulo procurado.
A prova
Construir não basta: é preciso provar que o triângulo é equilátero. A prova tem três passos, e cada um cita a sua justificativa:
- $C$ está no círculo de centro $A$, então $AC=AB$, pela definição de círculo: todos os raios são iguais.
- $C$ está no círculo de centro $B$, então $BC=BA$, pela mesma razão.
- $AC$ e $BC$ são ambos iguais a $AB$, então $AC=BC$, pela noção comum 1: coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si.
Portanto
$$AC=AB=BC,$$e o triângulo é equilátero. Euclides termina, como em todas as proposições, com a frase que os tradutores latinos chamaram de quod erat faciendum, “o que era preciso fazer”. Nos teoremas, em vez de construções, a frase é quod erat demonstrandum, “o que era preciso demonstrar”: o famoso c.q.d.
A conta com coordenadas
Hoje podemos conferir a construção com álgebra. Ponha $A=(0,0)$ e $B=(s,0)$. Os dois círculos são
$$x^2+y^2=s^2,\qquad(x-s)^2+y^2=s^2.$$Subtraindo a primeira da segunda, $-2sx+s^2=0$, ou seja, $x=\frac s2$. Pondo de volta na primeira,
$$y^2=s^2-\frac{s^2}4=\frac{3s^2}4\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt3}2s.$$Os círculos se cortam em dois pontos, $C=\left(\frac s2,\pm\frac{\sqrt3}2s\right)$, um de cada lado de $AB$. Qualquer um serve. A altura do triângulo é $\frac{\sqrt3}2s$ e a sua área é
$$\boxed{\text{área}=\frac12\cdot s\cdot\frac{\sqrt3}2s=\frac{\sqrt3}4s^2.}$$O buraco
A prova tem uma lacuna, que os comentadores notaram já na Antiguidade: por que os dois círculos se cruzam? O desenho mostra que sim, mas nenhum postulado garante isso. Num “plano” que só tivesse os pontos com coordenadas racionais, por exemplo, todos os postulados de Euclides continuariam valendo, mas o ponto $C$, com a coordenada $\frac{\sqrt3}2s$, não existiria quando $s=1$. Os círculos passariam um pelo outro sem se tocar.
Para fechar o buraco, é preciso um axioma de continuidade, que diz que um círculo que tem pontos dentro e fora de outro o corta. Hilbert e outros acrescentaram axiomas assim no fim do século XIX. A lição é a que Euclides queria ensinar, só que levada mais longe do que ele mesmo levou: o desenho sugere, mas não prova.
Exercício: se o lado mede 6 cm, quais são a altura e a área do triângulo equilátero?
A altura é $\frac{\sqrt3}2\cdot6=3\sqrt3\approx5{,}20$ cm. A área é $\frac{\sqrt3}4\cdot36=9\sqrt3\approx15{,}6$ cm².
Exercício: qual é a área do hexágono regular de lado s?
O hexágono se divide em seis triângulos equiláteros de lado $s$, com vértice comum no centro. A área é $6\cdot\frac{\sqrt3}4s^2=\frac{3\sqrt3}2s^2\approx2{,}6\,s^2$. É por isso que os favos de mel são hexagonais: entre os polígonos regulares que cobrem o plano sem buracos, o hexágono é o que encerra mais área com o mesmo perímetro.
Fontes: Elementos, Proposição I.1, edição de D. E. Joyce · Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond (Springer, 2000), cap. 1.
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