Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo.

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2023 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 151 a 165. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
151 Porcentagem: lista de espera da creche B
152 Sequências: números pentagonais E
153 Funções periódicas: roda-gigante A
154 Gráfico de dispersão e porcentagem B
155 Lucro, receita e custo D
156 Crescimento exponencial D
157 Princípio multiplicativo e probabilidade A
158 Probabilidade condicional em etapas A
159 Progressão geométrica D
160 Função quadrática: valor mínimo D
161 Porcentagem e expressão algébrica A
162 Leitura de gráfico (curva paramétrica) B
163 Logaritmos: nível sonoro em decibéis B
164 Volume de cone, tronco e cilindro B
165 Média ponderada C

Questão 151: Salas novas para a creche (porcentagem)

Enunciado

Em janeiro do ano passado, a direção de uma fábrica abriu uma creche para os filhos de seus funcionários, com 10 salas, cada uma com capacidade para atender 10 crianças a cada ano. As vagas são sorteadas entre os filhos dos funcionários inscritos, enquanto os não contemplados pelo sorteio formam uma lista de espera. No ano passado, a lista de espera teve 400 nomes e, neste ano, esse número cresceu 10%.

A direção da fábrica realizou uma pesquisa e constatou que a lista de espera para o próximo ano terá a mesma quantidade de nomes da lista de espera deste ano. Decidiu, então, construir, ao longo desse ano, novas salas para a creche, também com capacidade de atendimento para 10 crianças cada, de modo que o número de nomes na lista de espera no próximo ano seja 25% menor que o deste ano.

O número mínimo de salas que deverão ser construídas é

  • A) 10.
  • B) 11.
  • C) 13.
  • D) 30.
  • E) 33.

Resolução

1. Lista de espera deste ano. 400 aumentado em 10%:

$$400 \cdot 1{,}10 = 440 \text{ nomes}$$

2. Meta para o próximo ano. Sem salas novas, a lista seria de novo 440. A meta é 25% a menos:

$$440 \cdot 0{,}75 = 330 \text{ nomes}$$

3. Crianças a mais que precisam ser atendidas. $440 - 330 = 110$ crianças.

4. Salas. Cada sala nova atende 10 crianças:

$$\frac{110}{10} = 11 \text{ salas}$$

Resposta: alternativa B (11 salas).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A (10) usa 400 em vez de 440, esquecendo o aumento de 10% ($400 \cdot 0{,}25 = 100$). E a alternativa E (33) divide por 10 o tamanho final da lista (330), quando o que as novas salas precisam absorver é a redução da lista, 110 nomes.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

Voltar ao gabarito

Questão 152: O oitavo número pentagonal

Enunciado

Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.

O oitavo número pentagonal é

  • A) 59.
  • B) 83.
  • C) 86.
  • D) 89.
  • E) 92.

Resolução

1. Diferenças entre termos. Os seis primeiros números são 1, 5, 12, 22, 35, 51. As diferenças entre termos vizinhos são

$$4, \quad 7, \quad 10, \quad 13, \quad 16$$

Elas crescem de 3 em 3 (formam uma PA de razão 3). Isso faz sentido na figura: cada nova “camada” tem 3 lados novos, e cada lado tem um ponto a mais que na camada anterior.

2. Continuar o padrão. As próximas diferenças são 19 e 22:

  • 7º número: $51 + 19 = 70$;
  • 8º número: $70 + 22 = 92$.

3. Conferindo com a fórmula. O $n$-ésimo número pentagonal é $P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}$. Para $n = 8$: $P_8 = \frac{8 \cdot 23}{2} = 92$.

Resposta: alternativa E (92).

Cuidado com a pegadinha: a sequência 1, 5, 12, 22, 35, 51 não é uma PA; as diferenças entre os termos é que formam uma PA. Lembre também que 51 é o sexto número: faltam dois passos até o oitavo.

Para revisar, veja Progressão Aritmética e Geometria com sequências de números.

Voltar ao gabarito

Questão 153: Altura na roda-gigante (função periódica)

Enunciado

A figura ilustra uma roda-gigante no exato instante em que a cadeira onde se encontra a pessoa $P$ está no ponto mais alto dessa roda-gigante.

Com o passar do tempo, à medida que a roda-gigante gira, com velocidade angular constante e no sentido horário, a altura da cadeira onde se encontra a pessoa $P$, em relação ao solo, vai se alterando.

O gráfico que melhor representa a variação dessa altura, em função do tempo, contado a partir do instante em que a cadeira da pessoa $P$ se encontra na posição mais alta da roda-gigante, é

Resolução

1. A altura como função do ângulo. Seja $h_c$ a altura do centro da roda e $R$ o raio. Se a cadeira girou um ângulo $\theta$ a partir do ponto mais alto, sua altura é

$$h = h_c + R\cos\theta$$

Como a velocidade angular é constante, $\theta$ cresce proporcionalmente ao tempo: $\theta = \omega t$. Então $h(t) = h_c + R\cos(\omega t)$, uma curva cossenoide.

2. Características do gráfico.

  • começa no valor máximo (em $t = 0$ a cadeira está no alto);
  • é suave, sem “bicos”: perto do alto e perto do baixo a altura varia devagar (a cadeira está andando quase na horizontal), e perto da altura do centro ela varia depressa;
  • é simétrica: sobe do mesmo jeito que desce, e repete o formato a cada volta.

3. Eliminar as alternativas. B e C são formadas por segmentos de reta (a altura mudaria sempre na mesma velocidade, e C ainda tem trechos parados). D tem bicos no mínimo e E tem bicos no máximo; em nenhum ponto da roda a altura muda de forma brusca. Só o gráfico A é a curva suave do cosseno.

Resposta: alternativa A.

Voltar ao gabarito

Questão 154: Massa abaixo da média e altura acima da média

Enunciado

Um professor, para promover a aprendizagem dos estudantes em estatística, propôs uma atividade. O objetivo era verificar o percentual de estudantes com massa corporal abaixo da média e altura acima da média de um grupo de estudantes. Para isso, usando uma balança e uma fita métrica, avaliou uma amostra de dez estudantes, anotando as medidas observadas. O gráfico apresenta a massa corporal, em quilograma, e a altura, em metro, obtidas na atividade.

Após a coleta dos dados, os estudantes calcularam a média dos valores obtidos, referentes à massa corporal e à altura, obtendo, respectivamente, 80 kg e 1,65 m.

Qual é o percentual de estudantes dessa amostra com massa corporal abaixo da média e altura acima da média?

  • A) 10
  • B) 20
  • C) 30
  • D) 50
  • E) 70

Resolução

1. Montar a região procurada. Queremos os pontos com massa menor que 80 kg (à esquerda de 80 no eixo horizontal) e altura maior que 1,65 m (acima da linha de 1,65).

2. Olhar os pontos com massa abaixo de 80 kg. São cinco pontos, com massas em torno de 50, 55, 60, 65 e 68 kg:

  • 50 kg: altura 1,60 m (abaixo de 1,65);
  • 55 kg e 60 kg: altura exatamente 1,65 m (não é acima da média);
  • cerca de 65 kg: altura um pouco acima de 1,65 m ✔;
  • cerca de 68 kg: altura 1,70 m ✔.

3. Porcentagem. São 2 estudantes em 10:

$$\frac{2}{10} = 20\%$$

Resposta: alternativa B (20%).

Cuidado com a pegadinha: os dois pontos que estão sobre a linha de 1,65 m têm altura igual à média, não acima. Contá-los leva a 40%, que nem é alternativa; contar só os que estão à esquerda de 80 kg leva a 50% (D).

Para revisar, veja Medidas de Posição.

Voltar ao gabarito

Questão 155: Quantos ajudantes o pescador deve contratar

Enunciado

Um pescador tem um custo fixo diário de R$ 900,00 com combustível, iscas, manutenção de seu barco e outras pequenas despesas. Ele vende cada quilograma de peixe por R$ 5,00. Sua meta é obter um lucro mínimo de R$ 800,00 por dia. Sozinho, ele consegue, ao final de um dia de trabalho, pescar 180 kg de peixe, o que é suficiente apenas para cobrir o custo fixo diário. Portanto, precisa contratar ajudantes, pagando para cada um R$ 250,00 por dia de trabalho. Além desse valor, 4% da receita obtida pela venda de peixe é repartida igualmente entre os ajudantes. Considerando o tamanho de seu barco, ele pode contratar até 5 ajudantes. Ele sabe que com um ajudante a pesca diária é de 300 kg e que, a partir do segundo ajudante contratado, aumenta-se em 100 kg a quantidade de peixe pescada por ajudante em um dia de trabalho.

A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é

  • A) 1.
  • B) 2.
  • C) 3.
  • D) 4.
  • E) 5.

Resolução

1. Pesca com $k$ ajudantes. Com 1 ajudante são 300 kg, e cada ajudante a mais acrescenta 100 kg:

$$Q = 300 + 100(k - 1) \text{ kg}$$

2. Lucro. A receita é $5Q$. Os custos são o custo fixo (900), as diárias ($250k$) e os 4% da receita divididos entre os ajudantes ($0{,}04 \cdot 5Q$). Então

$$L = 5Q - 0{,}04 \cdot 5Q - 900 - 250k = 4{,}8Q - 900 - 250k$$

3. Testar os valores de $k$.

Ajudantes $k$ Pesca $Q$ (kg) Lucro (R$)
1 300 $1440 - 900 - 250 = 290$
2 400 $1920 - 900 - 500 = 520$
3 500 $2400 - 900 - 750 = 750$
4 600 $2880 - 900 - 1000 = 980$

Com 3 ajudantes o lucro (R$ 750,00) ainda não chega a R$ 800,00; com 4 ajudantes passa (R$ 980,00).

Resposta: alternativa D (4 ajudantes).

Cuidado com a pegadinha: quem esquece os 4% da receita pagos aos ajudantes calcula, com 3 ajudantes, $2500 - 900 - 750 = 850 \geq 800$ e marca C.

Voltar ao gabarito

Questão 156: Larvas que se multiplicam por 10 (exponencial)

Enunciado

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

  • A) 2
  • B) 4
  • C) 6
  • D) 12
  • E) 18

Resolução

1. População que os 5 litros tratam. Exatamente 1 litro para cada 200 000 larvas:

$$5 \cdot 200\thinspace 000 = 1\thinspace 000\thinspace 000 = 10^6 \text{ larvas}$$

2. Crescimento. Começando com $100 = 10^2$ larvas e multiplicando por 10 a cada 3 dias:

Dias 0 3 6 9 12
Larvas $10^2$ $10^3$ $10^4$ $10^5$ $10^6$

Em fórmula: $10^2 \cdot 10^{t/3} = 10^6 \Rightarrow \frac{t}{3} = 4 \Rightarrow t = 12$.

Resposta: alternativa D (12 dias).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (4) é o número de multiplicações por 10, não o número de dias. Cada multiplicação leva 3 dias.

Voltar ao gabarito

Questão 157: Qual senha é mais difícil de adivinhar

Enunciado

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

  • algarismos de 0 a 9;
  • 26 letras minúsculas do alfabeto;
  • 26 letras maiúsculas do alfabeto;
  • 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_1$, $p_2$ e $p_3$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

  • A) tipo I, pois $p_1 < p_2 < p_3$.
  • B) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
  • C) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
  • D) tipo III, pois $p_3 < p_2 < p_1$.
  • E) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resolução

A probabilidade de acertar na primeira tentativa é $\frac{1}{N}$, onde $N$ é o número de senhas possíveis. Quanto mais senhas, menor a probabilidade.

1. Caracteres disponíveis. $10 + 26 + 26 + 6 = 68$ caracteres, sendo $52$ letras.

2. Contar as senhas (princípio multiplicativo, sem repetir caracteres).

  • tipo I: $N_1 = 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19\thinspace 545\thinspace 240$;
  • tipo II: $N_2 = \underbrace{52 \cdot 51 \cdot 50}_{\text{letras}} \cdot \underbrace{10}_{\text{algarismo}} \cdot \underbrace{6}_{\text{especial}} = 7\thinspace 956\thinspace 000$;
  • tipo III: $N_3 = \underbrace{52 \cdot 51}_{\text{letras}} \cdot \underbrace{10 \cdot 9}_{\text{algarismos}} \cdot \underbrace{6 \cdot 5}_{\text{especiais}} = 7\thinspace 160\thinspace 400$.

3. Comparar. $N_1 > N_2 > N_3$, então

$$p_1 = \frac{1}{N_1} < p_2 = \frac{1}{N_2} < p_3 = \frac{1}{N_3}$$

A senha do tipo I é a mais difícil de descobrir.

Resposta: alternativa A.

Cuidado com a pegadinha: mais caracteres não significa, sozinho, mais segurança (alternativa E). O tipo III tem 6 caracteres, mas as posições são muito restritas (só 10 algarismos e 6 especiais); o tipo I tem 4 caracteres, mas cada um pode ser qualquer um dos 68.

Voltar ao gabarito

Questão 158: Sorteio com duas urnas (probabilidade)

Enunciado

Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.

As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,

  • A) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{60}$
  • B) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{50}$
  • C) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{10}$
  • D) $\frac{1}{55}$ e $\frac{1}{54}$
  • E) $\frac{1}{100}$ e $\frac{1}{100}$

Resolução

Em cada caso: probabilidade de sortear o algarismo das unidades certo vezes a probabilidade de, depois, sortear a dezena certa.

1. Inscrição 50. Unidade 0: probabilidade $\frac{1}{10}$. Números de 01 a 55 terminados em 0: 10, 20, 30, 40, 50. A segunda urna fica com 5 bolas (1, 2, 3, 4, 5), e a chance de sair o 5 é $\frac{1}{5}$:

$$P(50) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{50}$$

2. Inscrição 02. Unidade 2: probabilidade $\frac{1}{10}$. Números de 01 a 55 terminados em 2: 02, 12, 22, 32, 42, 52. A segunda urna fica com 6 bolas (0 a 5), e a chance de sair o 0 é $\frac{1}{6}$:

$$P(02) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{60}$$

Resposta: alternativa A ($\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{60}$).

Cuidado com a pegadinha: o sorteio não é equiprovável entre os 55 candidatos (alternativa D seria o caso de uma única urna). Os números que terminam em 0 dividem a chance entre só 5 candidatos, e os que terminam em 1 a 5 dividem entre 6.

Para revisar, veja Introdução à Probabilidade.

Voltar ao gabarito

Questão 159: Luz na profundidade do rio (progressão geométrica)

Enunciado

O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo $L_0$ a intensidade na sua superfície.

Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema.

A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a

  • A) $\frac{1}{9} L_0$
  • B) $\frac{16}{27} L_0$
  • C) $\frac{32}{243} L_0$
  • D) $\frac{64}{729} L_0$
  • E) $\frac{128}{2\thinspace 187} L_0$

Resolução

1. Achar o padrão. De um metro para o seguinte, a intensidade é multiplicada por $\frac{2}{3}$:

$$L_0 \to \frac{2}{3}L_0 \to \frac{4}{9}L_0 \to \frac{8}{27}L_0$$

É uma progressão geométrica de razão $\frac{2}{3}$. Na profundidade $n$ metros:

$$L(n) = \left(\frac{2}{3}\right)^n L_0$$

2. Profundidade de 6 m.

$$L(6) = \left(\frac{2}{3}\right)^6 L_0 = \frac{64}{729} L_0$$

Resposta: alternativa D ($\frac{64}{729} L_0$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa E é $\left(\frac{2}{3}\right)^7$ e a C é $\left(\frac{2}{3}\right)^5$: erros de “um a mais / um a menos”. Na superfície (0 m) o expoente é 0, então a 6 m o expoente é 6.

Voltar ao gabarito

Questão 160: Menor montante diário (função quadrática)

Enunciado

Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão $V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105$, em que os valores de $x$ representam os dias do mês, variando de 1 a 30.

Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário $V_0$ arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.

  • Ótimo: $V_0 \geq 24$
  • Bom: $20 \leq V_0 < 24$
  • Normal: $10 \leq V_0 < 20$
  • Ruim: $4 \leq V_0 < 10$
  • Péssimo: $V_0 < 4$

No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?

  • A) Ótimo.
  • B) Bom.
  • C) Normal.
  • D) Ruim.
  • E) Péssimo.

Resolução

$V$ é uma função do 2º grau com coeficiente de $x^2$ positivo ($a = \frac{1}{4}$), então sua parábola tem concavidade para cima e o menor valor está no vértice.

1. Abscissa do vértice.

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$$

O dia 20 está entre 1 e 30, então o mínimo ocorre dentro do mês.

2. Valor mínimo.

$$V_0 = V(20) = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5$$

3. Classificar. $4 \leq 5 < 10$: desempenho Ruim.

Resposta: alternativa D (Ruim).

Cuidado com a pegadinha: o valor inicial $V(0) = 105$ ou $V(1) = 95{,}25$ são altos e podem levar a pensar em “Ótimo”, mas o critério é o menor montante do mês.

Para revisar, veja Equação do 2° grau.

Voltar ao gabarito

Questão 161: Concentração de álcool no sangue

Enunciado

Dirigir após ingerir bebidas alcoólicas é uma atitude extremamente perigosa, uma vez que, a partir da primeira dose, a pessoa já começa a ter perda de sensibilidade de movimentos e de reflexos. Apesar de a eliminação e absorção do álcool depender de cada pessoa e de como o organismo consegue metabolizar a substância, ao final da primeira hora após a ingestão, a concentração de álcool ($C$) no sangue corresponde a aproximadamente 90% da quantidade ($q$) de álcool ingerida, e a eliminação total dessa concentração pode demorar até 12 horas.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 1 dez. 2018 (adaptado).

Nessas condições, ao final da primeira hora após a ingestão da quantidade $q$ de álcool, a concentração $C$ dessa substância no sangue é expressa algebricamente por

  • A) $C = 0{,}9q$
  • B) $C = 0{,}1q$
  • C) $C = 1 - 0{,}1q$
  • D) $C = 1 - 0{,}9q$
  • E) $C = q - 10$

Resolução

“$C$ corresponde a 90% de $q$” se traduz diretamente:

$$C = 90\% \cdot q = \frac{90}{100} q = 0{,}9q$$

Resposta: alternativa A ($C = 0{,}9q$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B ($0{,}1q$) seria a parte que não está no sangue (os 10% restantes). E “90% de $q$” é uma multiplicação, não uma subtração como em C, D e E.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

Voltar ao gabarito

Questão 162: Quando a criptomoeda A valia mais que a B

Enunciado

Um investidor iniciante observou o gráfico que apresenta a evolução dos valores de duas criptomoedas A e B em relação ao tempo.

Durante horas consecutivas, esses valores foram observados em nove instantes, representados por horas exatas.

Em quantos desses instantes a criptomoeda A estava mais valorizada do que a criptomoeda B?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 6
  • D) 7
  • E) 9

Resolução

Aqui o gráfico não tem o tempo no eixo horizontal. Cada ponto marcado é um instante: a coordenada horizontal é o valor da criptomoeda A e a vertical é o valor da criptomoeda B (ambas em milhar de real). A está mais valorizada quando a coordenada horizontal é maior que a vertical.

1. Ler os nove pontos.

Hora A (milhar) B (milhar) A > B?
9 h 3 0,5 sim
10 h 2 2 não (iguais)
11 h 4 4 não (iguais)
12 h 5,5 3 sim
13 h 6 1,5 sim
14 h 3,5 2 sim
15 h 2,5 4 não
16 h 1 5 não
17 h 0,5 3,5 não

2. Contar. A valia mais que B às 9 h, 12 h, 13 h e 14 h: 4 instantes.

Um jeito visual: trace a reta $B = A$ (a diagonal que passa por (1, 1), (2, 2)…). Os pontos abaixo dela são os instantes com A > B.

Resposta: alternativa B (4).

Cuidado com a pegadinha: às 10 h e às 11 h os valores são iguais (os pontos estão sobre a diagonal). “Mais valorizada” exige desigualdade estrita; contá-los dá 6 (alternativa C).

Voltar ao gabarito

Questão 163: Nível sonoro da nova máquina (logaritmos)

Enunciado

A exposição a alguns níveis sonoros pode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acordo com a máquina que o funcionário opera e o nível $N$ de intensidade do som, medido em decibel (dB), a que o operário é exposto, sendo $N = \log_{10} I^{10} - \log_{10} I_0^{10}$, $I$ a intensidade do som e $I_0 = 10^{-12}$ W/m².

Disponível em: www.sofisica.com.br. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).

Quando o som é considerado baixo, ou seja, $N = 48$ dB ou menos, deve ser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som ser moderado, quando $N$ está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve ser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, que equivale a $N$ no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a ser usada é a III. Se $N$ estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve ser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com $N$ maior que 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V.

Uma nova máquina, com $I = 8 \times 10^{-8}$ W/m², foi adquirida e será classificada de acordo com o nível de ruído que produz.

Considere 0,3 como aproximação para $\log_{10} 2$.

O funcionário que operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva

  • A) I.
  • B) II.
  • C) III.
  • D) IV.
  • E) V.

Resolução

1. Simplificar a fórmula. Pelas propriedades $\log a^n = n \log a$ e $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$:

$$N = 10\log_{10} I - 10\log_{10} I_0 = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$$

2. Razão das intensidades.

$$\frac{I}{I_0} = \frac{8 \times 10^{-8}}{10^{-12}} = 8 \times 10^{4}$$

3. Logaritmo. Como $8 = 2^3$:

$$\log_{10}(8 \times 10^4) = 3\log_{10} 2 + 4 = 3 \cdot 0{,}3 + 4 = 4{,}9$$

4. Nível sonoro. $N = 10 \cdot 4{,}9 = 49$ dB.

5. Classificar. 49 dB está no intervalo (48 dB, 55 dB): som moderado, medida preventiva II.

Resposta: alternativa B (II).

Cuidado com a pegadinha: 49 fica muito perto do limite de 48. Quem esquece o fator 10 do expoente encontra $N = 4{,}9$ e marca a medida I.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

Voltar ao gabarito

Questão 164: Massa da escultura (cone, tronco e cilindro)

Enunciado

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para $\pi$.

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

  • A) 1 198,8
  • B) 1 296,0
  • C) 1 360,8
  • D) 4 665,6
  • E) 4 860,0

Resolução

Volume do cone: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Volume do cilindro: $V = \pi r^2 h$.

1. Cone grande. Raio 9 cm, altura 36 cm:

$$V_1 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9^2 \cdot 36 = 81 \cdot 36 = 2\thinspace 916 \text{ cm}^3$$

2. Cone pequeno (removido do topo). Ele é semelhante ao cone grande. O raio é 3 cm, a terça parte de 9, então a altura também é a terça parte: 12 cm.

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = 108 \text{ cm}^3$$

3. Tronco. $V_1 - V_2 = 2\thinspace 916 - 108 = 2\thinspace 808$ cm³, com altura $36 - 12 = 24$ cm.

4. Furo cilíndrico. Raio 3 cm, atravessa o tronco de base a base (altura 24 cm):

$$V_3 = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 648 \text{ cm}^3$$

5. Volume e massa da escultura.

$$V = 2\thinspace 808 - 648 = 2\thinspace 160 \text{ cm}^3 \qquad m = 2\thinspace 160 \cdot 0{,}6 = 1\thinspace 296 \text{ g}$$

Resposta: alternativa B (1 296,0 g).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (1 360,8) corresponde a $(2\thinspace 916 - 648) \cdot 0{,}6$: esquece de tirar o cone pequeno do topo. Outro erro comum é usar o furo com altura 36 cm em vez de 24 cm.

Voltar ao gabarito

Questão 165: Média dos salários (média ponderada)

Enunciado

Os 100 funcionários de uma empresa estão distribuídos em dois setores: Produção e Administração. Os funcionários de um mesmo setor recebem salários com valores iguais. O quadro apresenta a quantidade de funcionários por setor e seus respectivos salários.

Setor Quantidade de funcionários Salário (em real)
Produção 75 2 000,00
Administração 25 7 000,00

A média dos salários dos 100 funcionários dessa empresa, em real, é

  • A) 2 000,00.
  • B) 2 500,00.
  • C) 3 250,00.
  • D) 4 500,00.
  • E) 9 000,00.

Resolução

Cada salário pesa pela quantidade de funcionários que o recebem (média ponderada):

$$\bar{x} = \frac{75 \cdot 2\thinspace 000 + 25 \cdot 7\thinspace 000}{100} = \frac{150\thinspace 000 + 175\thinspace 000}{100} = \frac{325\thinspace 000}{100} = 3\thinspace 250$$

Resposta: alternativa C (R$ 3 250,00).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D (4 500,00) é a média simples $\frac{2\thinspace 000 + 7\thinspace 000}{2}$, que ignora que há três vezes mais funcionários na Produção. A E (9 000,00) é só a soma dos dois salários.

Para revisar, veja Medidas de Posição.

Voltar ao gabarito