No livro interativo: capítulo VI completo, com todas as demonstrações e exercícios.

Somar giros não é somar alturas

Um giro de $30°$ seguido de outro de $30°$ resulta em $60°$. Mas $\operatorname{sen}30°+\operatorname{sen}30°=1$, enquanto $\operatorname{sen}60°=\sqrt3/2$. Precisamos descobrir como as coordenadas mudam ao girar.

Esta é uma etapa avançada. Se as contas com letras ainda forem novas, acompanhe primeiro o exemplo de $75°$ e volte à demonstração com um adulto.

Demonstração das fórmulas de adição

Depois de um giro de ângulo $a$, o vetor horizontal de comprimento 1 aponta para $(\cos a,\operatorname{sen} a)$. O vetor vertical, perpendicular a ele e também de comprimento 1, aponta para $(-\operatorname{sen} a,\cos a)$. É o primeiro vetor girado mais $90°$.

Antes desse giro, o ponto do ângulo $b$ é a soma de um deslocamento horizontal de tamanho $\cos b$ e um vertical de tamanho $\operatorname{sen} b$. A rotação preserva comprimentos e soma de deslocamentos. Depois de girar $a$, sua posição é:

$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\operatorname{sen}(a+b)) &=\cos b(\cos a,\operatorname{sen} a)\\ &\quad+\operatorname{sen} b(-\operatorname{sen} a,\cos a). \end{aligned}$$

Comparando as coordenadas, temos:

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$

$$\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.$$

Substituir $b$ por $-b$ e usar a paridade fornece:

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,$$

$$\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a\cos b-\cos a\operatorname{sen} b.$$

Dividindo a fórmula do seno pela do cosseno e depois por $\cos a\cos b$, obtemos:

$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$

Essa última expressão exige que as tangentes de $a$ e $b$ existam e que o denominador final não seja zero.

Exemplo: um valor novo

Como $75°=45°+30°$:

$$\begin{aligned} \operatorname{sen}75°&=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

Dobrar e triplicar

Faça $b=a$ nas fórmulas de adição:

$$\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen} a\cos a,$$

$$\cos2a=\cos^2a-\operatorname{sen}^2a=1-2\operatorname{sen}^2a=2\cos^2a-1.$$

A primeira forma do cosseno vira as outras ao usar $\operatorname{sen}^2a+\cos^2a=1$. Para a tangente, $\tan2a=2\tan a/(1-\tan^2a)$, quando os termos existem.

Aplicar a adição a $2a+a$ e substituir as fórmulas anteriores produz $\operatorname{sen}3a=3\operatorname{sen} a-4\operatorname{sen}^3a$ e $\cos3a=4\cos^3a-3\cos a$. É possível multiplicar um ângulo repetindo a mesma ideia.

Dividir o ângulo ao meio

Nas expressões de $\cos2a$, substitua $a$ por $\theta/2$ e isole os quadrados:

$$\operatorname{sen}^2\frac\theta2=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^2\frac\theta2=\frac{1+\cos\theta}{2}.$$

Ao extrair a raiz, o sinal depende do quadrante de $\theta/2$. Se $0<\theta<180°$, ambas as raízes são positivas. Dividindo seno por cosseno, também obtemos:

$$\tan\frac\theta2=\frac{\operatorname{sen}\theta}{1+\cos\theta}.$$

Essa forma exige $1+\cos\theta\ne0$. A forma equivalente $(1-\cos\theta)/\operatorname{sen}\theta$ exige ainda $\operatorname{sen}\theta\ne0$.

Transformar somas em produtos

Some ou subtraia as fórmulas de adição e subtração. Depois escreva $u=a+b$ e $v=a-b$, de modo que $a=(u+v)/2$ e $b=(u-v)/2$:

$$\operatorname{sen} u+\operatorname{sen} v=2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\operatorname{sen} u-\operatorname{sen} v=2\cos\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u-\cos v=-2\operatorname{sen}\frac{u+v}{2}\operatorname{sen}\frac{u-v}{2}.$$

Por exemplo, $\operatorname{sen}75°+\operatorname{sen}15°=2\operatorname{sen}45°\cos30°=\sqrt6/2$. A mudança de forma pode tornar uma conta mais curta.

No dia a dia

  • Girar fotos. O celular gira uma foto calculando, para cada ponto, as fórmulas de adição de arcos.
  • Afinar instrumentos. Duas notas quase iguais produzem um “pulsar” no volume — a transformação de soma em produto explica esse batimento, que os músicos usam para afinar.
  • Arremessos. O alcance de um arremesso depende de $\operatorname{sen} 2\theta$ (arco duplo), e por isso o ângulo de $45^\circ$ é o que vai mais longe sem resistência do ar.
O batimento entre duas notas próximas: soma transformada em produto.

Exercícios

Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.

1. Calcule $\cos75°$ usando $45°+30°$.

Ver resolução 1

$\cos75°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$, pela fórmula do cosseno da soma.

2. Se $\operatorname{sen} a=3/5$ e $\cos a=4/5$, calcule $\operatorname{sen}2a$ e $\cos2a$.

Ver resolução 2

$\operatorname{sen}2a=2(3/5)(4/5)=24/25$; $\cos2a=(16-9)/25=7/25$.

3. Deduza $\operatorname{sen}15°$ usando a subtração.

Ver resolução 3

$\operatorname{sen}(45°-30°)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.

4. Encontre $\cos22{,}5°$ pela fórmula da metade.

Ver resolução 4

O ângulo é do primeiro quadrante. Escolhemos a raiz positiva: $\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$.

5. Transforme $\cos80°+\cos20°$ em produto.

Ver resolução 5

A média é $50°$ e a metade da diferença é $30°$. Resultado: $2\cos50°\cos30°=\sqrt3\cos50°$.

6. Use a fórmula da tangente da metade para encontrar $\tan30°$.

Ver resolução 6

Com $\theta=60°$: $(\sqrt3/2)/(1+1/2)=\sqrt3/3$.

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