Quantas raízes positivas pode ter um polinômio? Descartes deu uma regra simples: o número de raízes positivas é no máximo o número de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos (e, como se provou depois, difere dele por um número par).

Veja com $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Os sinais dos coeficientes são $+\ -\ +\ -$: três trocas. Então há 3 ou 1 raízes positivas. De fato,

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$

com raízes 1, 2 e 3.

Para as raízes negativas, troque $x$ por $-x$ e conte de novo: $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$. Os sinais são todos negativos: nenhuma troca, nenhuma raiz negativa.

Outro exemplo: em $x^3 + x - 2$, os sinais $+\ +\ -$ têm uma troca só. Como a diferença tem de ser par, há exatamente uma raiz positiva, e é fácil achá-la: $x = 1$.

Teste a regra nos três polinômios abaixo. As setas douradas marcam cada troca de sinal:

Raízes positivas em dourado, negativas em roxo. O último polinômio tem 2 trocas em p(x) e 2 em p(−x).

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