Euler's Eyes
2026-09-26
OBMEP 2023 – 2ª fase – Nível 3: resolução completa
Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.
As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.
Questão 1 — Cartões e múltiplos
a) Uma possibilidade é $6,2,4,8,1,9,3$. Conferindo os pares, temos divisibilidade em todos: 6 por 2, 4 por 2, 8 por 4, 8 por 1, 9 por 1 e 9 por 3.
b) Com oito cartões: $9,3,6,2,4,8,1,5$. Nenhum número se repete e cada par vizinho satisfaz a regra.
c) Use $5,1,7$ ou sua ordem inversa. Entre os cartões disponíveis, só 1 pode ser vizinho de 5 e só 1 pode ser vizinho de 7.
d) Se usássemos os nove cartões, 5 e 7 teriam de ficar nas pontas, ambos ligados ao 1. Mas isso formaria o trecho inteiro $5,1,7$, sem possibilidade de anexar outro cartão: o 1 já teria seus dois vizinhos. Logo não existe uma sequência com os nove.
Questão 2 — Regras de coloração
Use as duas regras: somar 5 preserva a cor; um produto branco precisa ter pelo menos um fator branco.
a) $38-3=35$ é múltiplo de 5. Voltando sete vezes de 5 em 5, concluímos que 3 é branco.
b) Se $4=2\cdot2$ é branco, um dos fatores 2 deve ser branco; como são iguais, 2 é branco.
c) Se 1 é branco, 16 também é, pela primeira regra. Como $16=4^2$, 4 é branco, pelo mesmo argumento do item b.
d) Mostremos as duas implicações. Se 3 é branco, 8 também é. Em $8=2\cdot4$, ou 2 é branco diretamente, ou 4 é branco e o item b força 2 branco. Reciprocamente, se 2 é branco, 12 também é. Em $12=3\cdot4$, ou 3 é branco, ou 4 é branco. No último caso 9 é branco, por diferir de 4 por 5, e $9=3^2$ força 3 branco. Logo 2 é branco se, e somente se, 3 é branco; caso contrário, ambos são pretos.
Questão 3 — Antena mais próxima
Considere a estrada como o eixo horizontal. As distâncias ao quadrado às antenas são $d_C^2=(x-2)^2+1$ e $d_D^2=(x-5)^2+4$.
a) Em $x=3$, esses valores são 2 e 8. A função escolhe o menor: $f(3)=2$.
b) Para igualar as distâncias, iguale seus quadrados: $(x-2)^2+1=(x-5)^2+4$. Cancelando $x^2$, obtemos $6x=24$, portanto $x=4$.
c) A diferença $d_C^2-d_D^2=6x-24$ muda de sinal em 4. Logo
$$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+1,&0\le x\le4,\\(x-5)^2+4,&4Questão 4 — Escolhas no elevador
Adotemos destinos nos quatro andares acima do térreo, independentes e equiprováveis. As três pessoas podem escolher de $4^3=64$ modos.
a) Para um único destino comum, há quatro escolhas: $4/64=1/16$.
b) É mais simples contar a ausência de parada no primeiro andar: cada pessoa tem três destinos possíveis, totalizando 27 casos. Assim a chance de parar lá é $1-27/64=37/64$.
c) As três paradas consecutivas são $\{1,2,3\}$ ou $\{2,3,4\}$. Em cada conjunto, as três pessoas podem escolher destinos distintos em $3!=6$ ordens. A chance é $2\cdot6/64=3/16$.
O guia oficial também aceita considerar o térreo como destino. Nessa interpretação são $5^3=125$ escolhas; as respostas tornam-se, respectivamente, $1/25$, $61/125$ e $18/125$. É necessário declarar qual espaço amostral está sendo usado.
Questão 5 — Adesivo triangular no cilindro
Abra a superfície lateral num retângulo de largura 12 cm e altura 15 cm. A cada volta completa, o adesivo avança 12 cm em sua base horizontal.
a) Para base 10, não há volta completa nem sobreposição. A superfície mede $12\cdot15=180$ e o triângulo, $10\cdot15/2=75$. A área descoberta é $105\text{ cm}^2$.
b) Para base 60, a altura do adesivo decresce $15\cdot12/60=3$ cm a cada volta. A primeira volta já cobre tudo que será coberto; as demais se sobrepõem abaixo dela. Resta um triângulo de base 12 e altura 3, com área $18\text{ cm}^2$.
c) Para base 90, a redução de altura por volta é $15\cdot12/90=2$ cm. As fronteiras entre duas, três e quatro camadas são paralelas. A faixa com exatamente três camadas é um paralelogramo de base horizontal 12 e altura vertical 2. Sua área é $24\text{ cm}^2$.
Questão 6 — Tabuleiros e paridade
Represente branco por 0 e preto por 1. A exigência é que cada subtabuleiro $3\times3$ tenha soma ímpar.
a) Para as casas K, L, M e N da última linha, as quatro possibilidades são BBPP, BPBP, PBBB e PPPB. Escolher K e L livremente fixa M pela paridade do bloco esquerdo e fixa N pela do direito.
b) No tabuleiro $3\times4$, escolha as oito casas das duas primeiras linhas e as duas primeiras casas da terceira. As duas restantes são forçadas, uma por cada condição $3\times3$. Há $2^{10}=1024$ pinturas.
c) No $4\times4$, escolha as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas das demais linhas: são $8+4=12$ escolhas binárias. Complete cada linha da esquerda para a direita, impondo a paridade do bloco que termina na nova casa. O total é $2^{12}=4096$.
d) No $2023\times2023$, o mesmo procedimento deixa livres $2\cdot2023+2\cdot2021=8088$ casas. Cada casa restante é determinada pelo bloco $3\times3$ que tem nela o canto inferior direito. Nenhuma condição fica sem ser aplicada e nenhuma casa é determinada duas vezes. Portanto o total é $2^{8088}$.