Neste post vamos falar de eventos equiprováveis. Este conceito é o que abordamos no ensino para crianças e é o ponto inicial para o conceito de probabilidade.

O que é evento equiprovável?

Os eventos equiprováveis são os eventos com a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, têm mesma chance de ocorrer. Ela aparece bastante na teoria de probabilidades. Desta forma, vamos definir como:

Definição (Eventos Equiprváveis): Seja um espaço amostral $\Omega$ e um experimento aleatório deste espaço. Ao tomarmos uma classe de eventos deste espaço e finito $\mathcal{A}=\\{e_1, e_2,\dots,e_n\\}$. Os eventos são equiprováveis se estes eventos com a mesma probabilidade de ocorrer.

$$\mathbb{P}(e_1) = \mathbb{P}(e_1) = \dots = \mathbb{P}(e_n) =\dfrac{\text{número de eventos favoráveis} }{\text{total de casos} }$$

Exemplo de Lançamento de Moeda

Com objetivo de exemplificar os eventos equiprováveis, vamos supor uma moeda honesta. Desta forma:

  • Espaço Amostral: $$\Omega=\\{\text{cara}, \text{coroa}\\}$$
  • Eventos equiprováveis:
    • Chance de cair cara é a mesma de coroa $$\mathbb{P}(\\{\text{cara}\\}) = \mathbb{P}(\\{\text{coroa}\\}) = \dfrac{1}{2}$$

Pergunta:

  • Qual a probabilidade de cair cara.
$$\mathbb{P}(\\{\text{cara}\\}) = \dfrac{1 }{2}$$

Em termos de porcentagem temos

$$\text{Chance } = \dfrac{1 \color{red}{~.~50} }{2 \color{red}{~.~50} } = \dfrac{50}{100} = 50\\%$$

Exemplo de Lançamento de Um Dado

Com objetivo de exemplificar os eventos equiprováveis, vamos supor um dado honesto. Desta forma:

  • Espaço Amostral: $$\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}$$
  • Eventos equiprováveis:
    • Chance de cair 1 é a mesma de 2, 3, 4, 5 e 6 $$\mathbb{P}(\\{1\\}) = \mathbb{P}(\\{2\\}) = \mathbb{P}(\\{3\\}) = \mathbb{P}(\\{4\\}) = \mathbb{P}(\\{5\\}) = \mathbb{P}(\\{6\\}) = \dfrac{1}{6}$$

Pergunta de 1 milhão de dólares:

  • Qual a probabilidade do dado cair um número par.

Primeiramente, devemos definir o evento números pares do dado $B=\\{ 2, 4, 6 \\}$.

Cair número 2 é independente de cair 4 ou 6.

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}( \{2 \text{ ou } 4 \text{ ou } 6 \} ) \\ &= \mathbb{P}(\{2 \}\cup \{ 4\} \cup \{ 6 \}) \\ &= \mathbb{P}(\{2 \}) + \mathbb{P}(\{ 4\}) + \mathbb{P}(\{ 6 \}) \\ &= \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{3}{6}\\ &= \dfrac{3 \color{red}{\div 3} }{6 \color{red}{\div 3} }\\ &= \dfrac{1 }{2}\\ \end{aligned} $$

Portanto, a probabilidade de cair para é a mesma do lançamento da moeda.

Exemplo de Lançamento de Dois Dados

Em um jogo de dados são lançados dois dados honestos simultaneamente. Para que um jogador ganhe, o seguinte evento deve ocorrer:

Pergunta: “soma das duas faces deve ser igual a 7”.

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$1\quad$ $(1,1)\quad$ $(1,2)\quad$ $(1,3)\quad$ $(1,4)\quad$ $(1,5)\quad$ $(1,6)\quad$
$2\quad$ $(2,1)\quad$ $(2,2)\quad$ $(2,3)\quad$ $(2,4)\quad$ $(2,5)\quad$ $(2,6)\quad$
$3\quad$ $(3,1)\quad$ $(3,2)\quad$ $(3,3)\quad$ $(3,4)\quad$ $(3,5)\quad$ $(3,6)\quad$
$4\quad$ $(4,1)\quad$ $(4,2)\quad$ $(4,3)\quad$ $(4,4)\quad$ $(4,5)\quad$ $(4,6)\quad$
$5\quad$ $(5,1)\quad$ $(5,2)\quad$ $(5,3)\quad$ $(5,4)\quad$ $(5,5)\quad$ $(5,6)\quad$
$6\quad$ $(6,1)\quad$ $(6,2)\quad$ $(6,3)\quad$ $(6,4)\quad$ $(6,5)\quad$ $(6,6)\quad$

Desta forma:

  • Espaço Amostral: 36 elementos $$\Omega=\\{ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), \dots, (6,6)\\}$$
    • Por exemplo:
      • Par (1,1) a soma é $1+1=2$
      • Par (1,2) a soma é $1+2=3$
      • $\vdots$
      • Par (1,6) a soma é $1+6=4$
      • $\vdots$
      • Par (6,6) a soma é $6+6=12$
  • Eventos equiprováveis:
    • Chance de cair soma igual a 7
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$1\quad$ $(1,1)\quad$ $(1,2)\quad$ $(1,3)\quad$ $(1,4)\quad$ $(1,5)\quad$ $\color{red}{(1,6)}\quad$
$2\quad$ $(2,1)\quad$ $(2,2)\quad$ $(2,3)\quad$ $(2,4)\quad$ $\color{red}{(2,5)}\quad$ $(2,6)\quad$
$3\quad$ $(3,1)\quad$ $(3,2)\quad$ $(3,3)\quad$ $\color{red}{(3,4)}\quad$ $(3,5)\quad$ $(3,6)\quad$
$4\quad$ $(4,1)\quad$ $(4,2)\quad$ $\color{red}{(4,3)}\quad$ $(4,4)\quad$ $(4,5)\quad$ $(4,6)\quad$
$5\quad$ $(5,1)\quad$ $\color{red}{(5,2)}\quad$ $(5,3)\quad$ $(5,4)\quad$ $(5,5)\quad$ $(5,6)\quad$
$6\quad$ $\color{red}{(6,1)}\quad$ $(6,2)\quad$ $(6,3)\quad$ $(6,4)\quad$ $(6,5)\quad$ $(6,6)\quad$

Primeiramente, devemos definir:

  • o evento números com soma 7 do dado ;
  • 6 elementos;
  • $B=\\{ (1,6), (2,5), (3,4),(4,4), (5,2), (6,1) \\}$.
$$\mathbb{P}(B) = \dfrac{\text{número de elementos favoráveis de B} }{\text{total de elementos do espaço amostral} } = \dfrac{6 }{36} = \dfrac{1 }{6}$$

Até aqui falamos dos exemplos de evetnos equiprováveis. Aguardem os próximos posts.