Leia esta prova curta:

Afirmação. A soma de dois números pares é par.

Prova. Sejam $m$ e $n$ números pares. Então existem inteiros $a$ e $b$ tais que $m=2a$ e $n=2b$. Logo $m+n=2a+2b=2(a+b)$. Como $a+b$ é inteiro, $m+n$ é par. $\blacksquare$

Tire as contas e sobra um esqueleto de palavras: sejam, então existem, logo, como, e um quadradinho preto no fim. Nenhuma delas é matemática no sentido de fazer conta, e todas são indispensáveis. São elas que dizem ao leitor o que cada linha está fazendo: introduzindo um objeto, tirando uma consequência, invocando um fato, encerrando.

As seis partes de Euclides

Os gregos já escreviam provas com uma estrutura fixa. No século V, o filósofo Proclo, comentando os Elementos, descreveu as seis partes de uma proposição de Euclides:

Parte (em grego) O que faz Na prova acima
prótasis, enunciado diz o que será provado, em geral “a soma de dois pares é par”
ékthesis, exposição escolhe um caso e lhe dá nome “sejam $m$ e $n$ pares”
diorismós, especificação diz o que se quer provar sobre esse caso (implícito) “$m+n$ é par”
kataskeué, construção acrescenta o que for preciso “existem $a$ e $b$ com $m=2a$, $n=2b$”
apódeixis, demonstração encadeia as consequências “$m+n=2(a+b)$”
sympérasma, conclusão volta ao enunciado geral “$m+n$ é par”

A parte mais engenhosa é a exposição. O enunciado fala de todos os pares; a exposição escolhe dois, $m$ e $n$, e os trata como se fossem particulares. Mas, como nada foi suposto sobre eles além de serem pares, tudo o que se provar sobre $m$ e $n$ vale para quaisquer pares. A palavra “seja” é a ponte entre o geral e o particular. É a mesma letra que generaliza, do capítulo 3, agora posta a trabalhar dentro de uma prova.

O que era preciso mostrar

Euclides terminava cada proposição com uma fórmula: hóper édei deîxai, “o que era preciso mostrar”. Quando a proposição era uma construção, como a do triângulo equilátero que o capítulo 1 apresentou, a fórmula mudava para hóper édei poiêsai, “o que era preciso fazer”. Os tradutores latinos verteram as duas por quod erat demonstrandum e quod erat faciendum, e as abreviaram: Q.E.D. e Q.E.F.

No século XX, o matemático húngaro-americano Paul Halmos trocou as letras por um sinal: um quadradinho preto, $\blacksquare$. Ele contou que tirou a ideia das revistas, que usavam uma marca assim para indicar o fim de um artigo. Os leitores chamam o sinal de lápide (tombstone), ou simplesmente de halmos. Halmos também popularizou a abreviação inglesa iff, if and only if, que em português virou sse, “se e somente se”.

Um sinal mais antigo, menos usado hoje, é o $\therefore$, “portanto”. Ele aparece em 1659, na Álgebra alemã do suíço Johann Rahn, e os livros ingleses ganharam depois o seu irmão invertido, $\because$, “porque”. São sinais que não representam nenhum objeto matemático: representam o movimento do raciocínio.

Palavras que abrem e fecham

Algumas palavras da prova funcionam como parênteses. Veja a prova clássica de que não existe um maior número par:

Prova. Suponha, por absurdo, que exista um maior número par, $N$. Então $N+2$ também é par, e $N+2>N$. Isso contradiz a escolha de $N$. Logo, não existe um maior número par. $\blacksquare$

O “suponha” abre uma hipótese provisória, que não é verdadeira: dentro dela, existe um tal $N$. A “contradição” fecha a hipótese, e o “logo” que vem depois já está do lado de fora, onde $N$ não existe mais. Dentro do parêntese, a letra $N$ tem sentido; fora, não tem. É exatamente o alcance das letras ligadas que o capítulo 3 estudou nas somas e integrais, agora aplicado a frases inteiras.

Quem lê uma prova sem perceber essas aberturas e fechamentos se perde. Um aluno que lê a prova acima como uma sequência de afirmações verdadeiras conclui que existe um maior par, chamado $N$, e depois fica confuso com a contradição. A lógica do século XX, com Gerhard Gentzen, desenhou provas como árvores justamente para tornar visível onde cada hipótese abre e fecha.

Exercício: escreva com as seis partes

Prove que a soma de dois números ímpares é par, marcando as partes.

Enunciado: a soma de dois ímpares é par. Exposição: sejam $m$ e $n$ ímpares. Especificação: queremos mostrar que $m+n$ é par. Construção: existem inteiros $a$ e $b$ com $m=2a+1$ e $n=2b+1$. Demonstração: $m+n=2a+2b+2=2(a+b+1)$. Conclusão: como $a+b+1$ é inteiro, $m+n$ é par. $\blacksquare$

Exercício: onde abre e onde fecha?

Na prova abaixo, marque onde a hipótese provisória começa e termina.

Suponha que $\sqrt2=\frac pq$, com a fração irredutível. Então $p^2=2q^2$, logo $p^2$ é par e $p$ é par: $p=2r$. Daí $4r^2=2q^2$, $q^2=2r^2$, e $q$ também é par. Mas então $p$ e $q$ têm o fator $2$ em comum, contra a escolha da fração. Logo $\sqrt2$ não é uma fração.

A hipótese abre em “suponha” e fecha em “contra a escolha da fração”. Tudo o que está entre os dois, $p$, $q$, $r$, só existe dentro do parêntese. O “logo” final está do lado de fora e afirma uma coisa verdadeira sem usar nenhuma dessas letras.

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