Exercícios do capítulo 9 — Polígonos

Determine, de preferência sem usar a fórmula, a soma dos ângulos internos de um: a) pentágono convexo; b) hexágono convexo.

Determine o valor de $x$ nos casos (em e), $\overline{AB} \parallel \overline{ED}$):

Nos casos abaixo, determine $x$, sabendo que os segmentos $\overline{AP}$, $\overline{BP}$, $\overline{CP}$ e $\overline{DP}$, nas figuras em que aparecem, são bissetrizes.

Sendo $\overline{AP}$ e $\overline{CP}$ bissetrizes de $\hat{A}$ e $\hat{C}$, determine $x$. Em a), $\overline{AB} \parallel \overline{PC}$ e $\overline{AP} \parallel \overline{BC}$; em b), $\overline{AB} \parallel \overline{PC}$.

Determine o ângulo interno e o ângulo externo de um: a) triângulo equilátero; b) quadrado; c) pentágono regular; d) hexágono regular.

Se o triângulo $ABP$ é equilátero e $ABCDE$ é pentágono regular, determine $x$ nos casos:

Determine os valores de $x$ e $y$ nos casos: a) pentágono regular e quadrado; b) hexágono regular e quadrado.

Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.

Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.

Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.

Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale $1\,800^{\circ}$?

Calcule o número de diagonais de um decágono.

Calcule o número de diagonais de um icoságono.

Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.

Determine o maior ângulo de um pentágono cujos ângulos internos estão na razão $3 : 3 : 3 : 4 : 5$.

Um polígono regular possui, a partir de um de seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache: a) o polígono; b) o total de diagonais; c) a soma dos ângulos internos; d) a soma dos ângulos externos; e) a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.

Quantas diagonais podemos traçar partindo de um vértice de um polígono convexo de 20 lados?

Determine o número de lados de um polígono convexo, sabendo que de um de seus vértices partem 25 diagonais.

Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual ao número de diagonais multiplicado por $180^{\circ}$.

Podem os ângulos internos e externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Em que caso isso ocorre?

Determine o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo vale $24^{\circ}$.

A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é 9. Determine o número de lados do polígono.

O ângulo interno de um polígono regular vale 1,5 vez o seu ângulo externo. Determine o número de lados do polígono.

O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Determine o número de diagonais desse polígono.

A soma dos ângulos internos com a dos ângulos externos de um polígono regular vale $1\,800^{\circ}$. Determine o número de diagonais do polígono.

Determine o número de lados de um polígono convexo regular cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo.

Determine o número de lados de um polígono regular $ABCDE\ldots$, sabendo que as bissetrizes $\overline{AP}$ e $\overline{CP}$ dos ângulos $\hat{A}$ e $\hat{C}$ formam um ângulo que vale $\dfrac{2}{9}$ do seu ângulo interno.

Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ de um polígono regular $ABCD\ldots$ de 20 lados.

As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de $24^{\circ}$. Determine o número de diagonais desse polígono.

Aumentando o número de lados de um polígono em 3, seu número de diagonais aumenta em 21. Determine o número de diagonais desse polígono.

Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} + \hat{e} + \hat{f}$.

Dados dois polígonos com $n$ e $n + 6$ lados, respectivamente, calcule $n$, sabendo que um dos polígonos tem 39 diagonais a mais que o outro.

Três polígonos convexos têm $n$, $n + 1$ e $n + 2$ lados, respectivamente. Sendo $2\,700^{\circ}$ a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de $n$.

Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são $n - 3$, $n$ e $n + 3$. Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale $3\,240^{\circ}$.

Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o polígono com maior número de diagonais.

Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números $n$ e $n + 4$. Determine o valor de $n$, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais a mais que o outro.

Um polígono convexo tem 5 lados a mais que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o número de diagonais de cada polígono.

Dados dois polígonos regulares, com $n + 1$ lados e $n$ lados, respectivamente, determine $n$, sabendo que o ângulo interno do primeiro polígono excede o ângulo interno do segundo em $5^{\circ}$.

Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. Quanto mede cada ângulo interno dele?

Qual o polígono regular que tem 6 diagonais passando pelo seu centro?

Um polígono regular tem 170 diagonais. Quantas passam pelo centro?

O ângulo interno de um polígono regular mede $140^{\circ}$. Quantas diagonais passam pelo centro?