Olhe para o que não está lá

Caixa vazia representa zero e caixa com cinco bolinhas representa cinco.
Zero não é um espaço esquecido: ele informa que não há objetos na caixa.
Duas dezenas e quatro unidades representam 24.
Agora imagine tirar as quatro unidades: ficam 20. O zero registra que não há unidades soltas.
Conferir a descoberta

Em 205 há 2 centenas, nenhuma dezena e 5 unidades. Em 25 há 2 dezenas e 5 unidades. A posição muda o valor dos algarismos.

Introdução

Até o presente momento, definimos os números naturais como 1, 2, 3, 4, … e consideramos zero um algarismo dos sistemas posicionais. O zero foi definido apenas para designar a casa vazia em representações de números.

O próximo passo é considerarmos como parte do número natural. A ideia é usarmos este conceito para estender as propriedades desse conjunto. Ao usarmos or zero como um número natural também facilita o desenvolvimento de fórmulas e definições.

Com o zero podemos definir o conjunto vazio e é útil para operações com conjuntos. Por exemplo, dado um conjunto, um conjunto sem nada nele é considerado um conjunto vazio.

O zero

Definição: Zero é a quantidade de elementos em um conjunto vazio e podemos indicar o número zero com o símbolo 0.

Dessa forma, zero faz parte dos números utilizados para contagem, ou o zero faz parte dos números naturais.

Soma com zero

A seguir observamos que:

  • Se em um conjunto vazio colocamos um valor, temos um conjunto com um elemento.
$$1 + 0 = 1 \quad \text{ou} \quad 0 + 1 = 1$$
  • 1 é o sucessor de zero.

Genericamente, em um conjunto vazio, ao colocamos n elementos

$$n + 0 = n \quad \text{ou} \quad 0 + n = n$$

Ao adicionarmos o zero a um conjunto vazio temos:

$$0 + 0 = 0$$

Subtração como zero

Em um conjunto de n elementos, ao subtrairmos de um conjunto de n elementos os mesmos n elementos:

$$n - n = 0 \quad \text{para todo número natural n.}$$

Vale também para o zero:

$$0 - 0 = 0$$

Multiplicação com zero

No post sobre operações básicas, vimos que:

  • 1 x n significa obtermos n uma vez
  • 2 x n significa obtermos n duas vezes (ou dobro de n)
  • Assim por diante.

Com isso, 0 x n significa obtermos o n nenhuma vez ou

$$0\times n = 0 = n\times 0 \quad \text{para qulquer número natural n.}$$

Em particular,

$$0\times 0 =0 $$

Formalização do zero

Definição: o conjunto dos números naturais incluindo o zero é dada por:

$$\mathbb{N} = \{0, 1 , 2 , 3, 4, \dots\}$$

O símbolo para o zero era indicado para representar algo vazio em representações posicionais.

O primeiro relato de uso do zero foi na Índia a partir do Século VII por matemáticos como Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara.

Mahavira descreveu o zero em um livro da seguinte forma:

“… um número multiplicado por zero é zero, e um número permanece o mesmo quando zero é subtraído dele”

Em matemática de nível de universidade o zero é tratado com muito carinho, pois não podemos dividir um número por zero e algumas indeterminações que pode ser obtido com os zeros.

Porque o zero é muito importante?

A utilização do zero era um tabu para os matemáticos da antiguidade, pois ao utilizarmos de forma inadequada, podemos cometer erros graves. Aquilo que a matemática toma mais cuidado é com as hipóteses utilizadas. Isto passa por um resultado ser determinado ou indeterminado. A brincadeira clássica que o pessoal faz com a indeterminação é:

$$ \begin{aligned} 1 &= 1\\ 1 \color{red}{-1}&= 1^2\color{red}{-1^2}\\ 1 -1&\overset{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}{=} (1-1)(1+1)\\ 1~.~\frac{(1 -1)}{\color{red}{(1 -1)}} &= \frac{(1-1)(1+1)}{\color{red}{(1 -1)}}\\ 1 &\overset{\text{what?}}{=} 2 \end{aligned} $$

Chegamos a um absurdo, mas porquê?

Este resultado é devido a uma indeterminação do tipo:

$$\frac{0}{0}$$

Mais especificamente:

$$\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$$

Portanto, tome muito cuidado com o zero, pois você pode chegar a resultados absurdos.

Tente fazer 2035 sem o zero: as hastes vazias precisam de um algarismo que diga “aqui não tem nada”.