Euler's Eyes
2026-10-11
Descida infinita: uma solução menor leva à contradição
Imagine uma escada em que cada degrau tem um número inteiro positivo. Você pode descer: 10, 7, 4, 2, 1… mas em algum momento a escada acaba. Não existe uma sequência infinita de inteiros positivos cada vez menores.
Parece óbvio. Fermat transformou essa obviedade numa das ferramentas mais poderosas da teoria dos números: a descida infinita.
Como funciona
Para provar que uma equação não tem solução em inteiros positivos:
- Suponha que ela tenha uma solução.
- A partir dela, construa outra solução, também em inteiros positivos, mas menor.
- Repita: dessa nova solução sai outra menor, e assim por diante, para sempre.
- Isso é impossível, porque a escada dos inteiros positivos acaba. Logo, a solução do passo 1 não existia.
Fermat tinha orgulho do método. Numa carta de 1659 ao matemático Pierre de Carcavi, disse que era com ele que tinha provado a maior parte dos seus resultados sobre números.
Exemplo: a raiz de 2
Os gregos já sabiam que $\sqrt2$ não é uma fração. A descida infinita dá uma prova curta e bonita.
Suponha que $\sqrt2=\dfrac ab$, com $a$ e $b$ inteiros positivos. Elevando ao quadrado:
$$a^2=2b^2.$$O lado direito é par, então $a^2$ é par. Como o quadrado de um ímpar é ímpar, $a$ tem de ser par: $a=2c$. Substituindo:
$$4c^2=2b^2\qquad\Longrightarrow\qquad b^2=2c^2.$$Olhe o que aconteceu: o par $(b,c)$ satisfaz a mesma equação que $(a,b)$. Ou seja, $\sqrt2=\dfrac bc$. E essa nova fração tem números menores: como $a^2=2b^2<4b^2$, temos $a<2b$, e portanto $c=\dfrac a2 Repetindo, obtemos $\dfrac cd$, depois $\dfrac de$…, com denominadores $b>c>d>e>\cdots$ cada vez menores e sempre positivos. A escada desceria para sempre. Contradição: $\sqrt2$ não é fração. O exemplo mais famoso do próprio Fermat é sobre triângulos retângulos com lados inteiros, como o $3,4,5$. Ele provou que a área de um triângulo assim nunca é um quadrado perfeito. No $3,4,5$, por exemplo, a área é $6$, que não é quadrado. A prova, escrita numa margem da Aritmética de Diofanto, é a única demonstração completa de teoria dos números que Fermat deixou. Ela parte de um triângulo cuja área seria um quadrado e constrói, com muito engenho, outro triângulo do mesmo tipo, com lados menores. Descida infinita. Descrever o método é fácil. A dificuldade está no passo 2: descobrir como construir a solução menor. No caso de $\sqrt2$, bastou dividir por 2. No triângulo de Fermat, a construção é engenhosa e longa. Em problemas mais difíceis, ninguém sabe fazer. A descida não é uma receita automática, é uma estratégia que precisa de uma ideia nova a cada vez. Repare também que o método depende dos inteiros. Com números reais, uma sequência pode descer para sempre sem problema: $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ nunca acaba e nunca fica negativa. Porque $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ é infinita, positiva e sempre decrescente. A descida só funciona com inteiros positivos, que não podem diminuir para sempre. Se $a^2=3b^2$, então $3$ divide $a^2$ e, como 3 é primo, divide $a$: $a=3c$. Então $9c^2=3b^2$, ou $b^2=3c^2$. O par $(b,c)$ é uma nova solução. Como $a^2=3b^2<9b^2$, temos $a<3b$ e, portanto, $c=\frac a3 Fontes: biografia de Fermat, MacTutor. Todos os tópicos de Fermat · ← O princípio de Fermat: a luz escolhe o caminho mais rápido · O último teorema de Fermat: da margem à prova de Wiles →O triângulo de Fermat
O segredo está em construir
Exercício: por que uma sequência decrescente de números reais positivos não dá a mesma contradição?
Exercício: adapte a prova para mostrar que √3 não é fração