Se agora são 15 h, que horas serão daqui a 10 horas? Não são “25 h”, e sim 1 h da manhã: no relógio, depois do 24 a conta recomeça. Gauss deu nome e símbolo a essa ideia nas Disquisitiones:

$$25 \equiv 1 \pmod{24}$$

Lê-se “25 é côngruo a 1, módulo 24”: os dois deixam o mesmo resto na divisão por 24. O símbolo $\equiv$ funciona quase como um sinal de igual: dá para somar e multiplicar dos dois lados.

Aplicação: os noves-fora. Como $10 = 9 + 1$, temos $10 \equiv 1 \pmod 9$, e então $100 \equiv 1$, $1000 \equiv 1$, e assim por diante. Por isso:

Por que os noves-fora funcionam (clique para avançar)

  1. Escreva o número pelas casas decimais: $4528 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8$.
  2. Troque cada potência de 10 por 1, que tem o mesmo resto na divisão por 9: $4528 \equiv 4 + 5 + 2 + 8 = 19 \pmod 9$.
  3. Repita com 19: $19 \equiv 1 + 9 = 10 \equiv 1 + 0 = 1 \pmod 9$.
  4. Conclusão: 4528 deixa resto 1 na divisão por 9. Confira: $4528 = 9 \cdot 503 + 1$.
Digite qualquer número: a soma dos algarismos, repetida até sobrar um só, dá o resto na divisão por 9.

É a famosa “prova dos noves” que se aprendia na escola para conferir multiplicações. Nas Disquisitiones, Gauss também provou a lei da reciprocidade quadrática, que chamava de theorema aureum, o teorema de ouro. Gostava tanto dela que encontrou oito demonstrações diferentes.

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