Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA.

A 1ª fase do ITA 2024 teve 60 questões de múltipla escolha, 12 de cada disciplina (Física, Português, Inglês, Matemática e Química). Este post traz as questões de matemática, numeradas de 37 a 48 como na prova.

Convenções da prova. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $A - B$ é a diferença dos conjuntos $A$ e $B$; $i^2 = -1$; $M_n(\mathbb{R})$ é o conjunto das matrizes $n \times n$ reais; $\overline{AB}$ é o segmento e $AB$ a reta por $A$ e $B$; $m(\overline{AB})$ é o comprimento de $\overline{AB}$; $A\hat{B}C$ é o ângulo de vértice $B$; $\det A$ é o determinante e $A^T$ a transposta de $A$.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
37 Operações com conjuntos B
38 Sistema de equações matriciais E
39 Arco duplo com arco tangente A
40 Contagem: princípio da casa dos pombos B
41 Polinômios: soma das raízes de 120 polinômios D
42 Raízes em progressão geométrica C
43 Cilindro e progressão geométrica E
44 Poliedros: relação de Euler D
45 Geometria plana: área de quadrilátero C
46 Números complexos: $a^m = b^m$ D
47 Geometria analítica: bissetriz externa A
48 Elipse contendo um círculo C

Questão 37: Três identidades com conjuntos

Enunciado

Sejam $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$ tais que $C \subseteq A$. Considere as afirmações:

  • I. $(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$.
  • II. $A \cap B = C \cup (B \cap (\mathbb{R} - C))$.
  • III. $A \cap (B - C) = (A \cap B) - C$.

É (São) VERDADEIRA(S):

  • A) apenas I e II.
  • B) apenas I e III.
  • C) apenas II.
  • D) apenas III.
  • E) I, II e III.

Resolução

I. Verdadeira. Pela distributividade, $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Como $C \subseteq A$, $A \cap C = C$, e fica $(A \cap B) \cup C$.

II. Falsa. O lado direito é $C \cup (B - C) = B \cup C$. Contraexemplo: $A = \mathbb{R}$, $B = \varnothing$, $C = \{1\}$. Então $A \cap B = \varnothing$, mas $B \cup C = \{1\}$.

III. Verdadeira. Os dois lados são o conjunto dos elementos que estão em $A$ e em $B$ e não estão em $C$: $A \cap B \cap (\mathbb{R} - C)$. (Essa vale até sem a hipótese $C \subseteq A$.)

Resposta: alternativa B (apenas I e III).

Para revisar, veja Operações com Conjuntos.

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Questão 38: Um sistema cujas incógnitas são matrizes

Enunciado

Sejam $A, B, C, D \in M_n(\mathbb{R})$. Considere o sistema linear

$$\begin{cases} AX = B \\ DX + Y = C \end{cases}$$

nas variáveis $X, Y \in M_n(\mathbb{R})$. Considere as afirmações:

  • I. Se $\det A = 0$ ou $\det D = 0$, então o sistema é impossível.
  • II. Se $A = B$, então o sistema possui uma única solução.
  • III. O sistema possui uma única solução apenas se $A$ e $D$ são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

  • A) apenas I.
  • B) apenas II.
  • C) apenas III.
  • D) apenas II e III.
  • E) nenhuma.

Resolução

A observação central: a 2ª equação sempre determina $Y = C - DX$. Então o sistema tem tantas soluções quanto a equação $AX = B$.

I. Falsa. Com $A = I$ (inversível) e $D = 0$ ($\det D = 0$), a solução $X = B$, $Y = C$ existe.

II. Falsa. Se $A = B = 0$, então $AX = B$ vale para toda $X$: infinitas soluções.

III. Falsa. A unicidade depende só de $A$ ser inversível; $D$ pode ser qualquer. Por exemplo, $A = I$ e $D = 0$ dão a solução única $X = B$, $Y = C$.

Resposta: alternativa E (nenhuma).

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Questão 39: Cosseno e seno de 2·arctg(4/3)

Enunciado

Determine o valor de

$$\cos\left(2\operatorname{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)\right) + \operatorname{sen}\left(2\operatorname{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)\right).$$
  • A) $\frac{17}{25}$.
  • B) $\frac{4}{5}$.
  • C) $\frac{24}{25}$.
  • D) $\frac{28}{25}$.
  • E) $\frac{31}{25}$.

Resolução

Seja $\theta = \operatorname{arctg}\frac{4}{3}$, um ângulo agudo com $\operatorname{tg}\theta = \frac{4}{3}$. No triângulo retângulo 3-4-5: $\operatorname{sen}\theta = \frac{4}{5}$ e $\cos\theta = \frac{3}{5}$.

$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \operatorname{sen}^2\theta = \frac{9 - 16}{25} = -\frac{7}{25}, \qquad \operatorname{sen} 2\theta = 2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{24}{25}$$$$\cos 2\theta + \operatorname{sen} 2\theta = \frac{-7 + 24}{25} = \frac{17}{25}$$

Resposta: alternativa A ($\frac{17}{25}$).

Cuidado com a pegadinha: quem esquece o sinal de $\cos 2\theta$ (que é negativo, pois $2\theta > 90^\circ$) chega a $\frac{31}{25}$, a alternativa E.

Para revisar, veja Seno, cosseno e tangente do arco duplo.

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Questão 40: Garantindo um par com produto 256

Enunciado

Considere o conjunto:

$$A = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256\}.$$

Qual o menor $n \in \mathbb{N}$ tal que todo subconjunto de $A$ com $n$ elementos contenha pelo menos um par cujo produto seja 256?

  • A) $n = 5$.
  • B) $n = 6$.
  • C) $n = 7$.
  • D) $n = 8$.
  • E) $n = 9$.

Resolução

1. Expoentes. Os elementos são $2^0, 2^1, \dots, 2^8$, e $2^a \cdot 2^b = 256 = 2^8$ quando $a + b = 8$. Com elementos distintos, os pares são

$$\{1, 256\}, \quad \{2, 128\}, \quad \{4, 64\}, \quad \{8, 32\}$$

e o 16 fica sozinho ($16 \cdot 16 = 256$, mas é o mesmo elemento).

2. O maior subconjunto “sem par”. Podemos pegar um elemento de cada par e mais o 16: por exemplo, $\{1, 2, 4, 8, 16\}$, com 5 elementos e nenhum produto 256.

3. Casa dos pombos. Com 6 elementos, tirando no máximo o 16, sobram pelo menos 5 elementos distribuídos em apenas 4 pares; dois deles caem no mesmo par, e o produto é 256.

Resposta: alternativa B ($n = 6$).

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Questão 41: Soma das raízes de todos os polinômios

Enunciado

Considere o conjunto $C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Para cada escolha possível de $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in C$, dois a dois distintos, formamos o polinômio

$$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4.$$

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

  • A) $-\frac{17125}{4}$.
  • B) $-1800$.
  • C) $-360$.
  • D) $-\frac{351}{2}$.
  • E) $-\frac{101}{4}$.

Resolução

1. Um polinômio. São $5! = 120$ polinômios, todos de grau 4. Por Girard, a soma das raízes de cada um é $-\dfrac{a_3}{a_4}$.

2. Agrupando. O valor $-\frac{a_3}{a_4}$ só depende do par ordenado $(a_3, a_4)$ de elementos distintos, e cada par aparece em $3! = 6$ polinômios (as ordens de $a_0, a_1, a_2$). Então

$$S = -6\sum_{a_3 \ne a_4}\frac{a_3}{a_4}$$

3. A soma dupla. Fixado $a_4$, $a_3$ percorre os outros 4 elementos, que somam $15 - a_4$:

$$\sum_{a_3 \ne a_4}\frac{a_3}{a_4} = \sum_{a_4 = 1}^{5}\frac{15 - a_4}{a_4} = 15\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) - 5 = 15\cdot\frac{137}{60} - 5 = \frac{137}{4} - 5 = \frac{117}{4}$$

4. Total.

$$S = -6\cdot\frac{117}{4} = -\frac{351}{2}$$

(Conferimos por computador somando $-a_3/a_4$ sobre as 120 permutações.)

Resposta: alternativa D ($-\frac{351}{2}$).

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Questão 42: Raízes em progressão geométrica

Enunciado

O valor de $k \in \mathbb{R}$ de modo que as raízes do polinômio $p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + k$ estejam em progressão geométrica é:

  • A) $-18$.
  • B) $-16$.
  • C) $-8$.
  • D) $-2$.
  • E) $-1$.

Resolução

1. Raízes em PG. Escreva as raízes como $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$. Por Girard:

$$a\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -3, \qquad a^2\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -6, \qquad a^3 = -k$$

2. Dividindo a 2ª relação pela 1ª: $a = 2$. Então $k = -a^3 = -8$.

Conferindo: $p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = (x - 2)(x^2 + 5x + 4) = (x - 2)(x + 1)(x + 4)$. As raízes $-1$, $2$, $-4$ formam uma PG de razão $-2$ ✔

Resposta: alternativa C ($-8$).

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Questão 43: Base, lateral e volume em PG

Enunciado

Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base $A_1$, a área da sua superfície lateral $A_2$ e o seu volume $A_3$ formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:

  • A) $\left(1, \frac{5}{4}\right)$.
  • B) $\left(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right)$.
  • C) $\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)$.
  • D) $\left(\frac{7}{4}, 2\right)$.
  • E) $\left(2, \frac{5}{2}\right)$.

Resolução

Com raio $r$ e altura $h$: $A_1 = \pi r^2$, $A_2 = 2\pi r h$, $A_3 = \pi r^2 h$.

1. Condição de PG. $A_2^2 = A_1 A_3$:

$$4\pi^2 r^2 h^2 = \pi^2 r^4 h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{r^2}{4}$$

2. Razão. $q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{2h}{r} = \frac{r}{2}$ (e também $\frac{A_3}{A_2} = \frac{r}{2}$ ✔). PG crescente de termos positivos exige $q > 1$:

$$\frac{r}{2} > 1 \quad\Rightarrow\quad r > 2$$

Qualquer $r > 2$ serve (com $h = \frac{r^2}{4}$). Das alternativas, só o intervalo $\left(2, \frac{5}{2}\right)$ está dentro de $r > 2$.

Resposta: alternativa E.

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Questão 44: O poliedro de 24 vértices e 36 arestas

Enunciado

Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas. Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entre dois valores $m$ ou $n$. É CORRETO afirmar que:

  • A) é possível que $m = 3$ e $n = 4$.
  • B) é possível que $m = 3$ e $n = 5$.
  • C) é possível que $m = 3$ e $n = 7$.
  • D) é possível que $m = 3$ e $n = 8$.
  • E) é possível que $m = 4$ e $n = 5$.

Resolução

1. Número de faces. Euler: $V - A + F = 2 \Rightarrow F = 2 - 24 + 36 = 14$.

2. Contando arestas pelas faces. Se há $x$ faces com $m$ arestas e $y$ com $n$ arestas, cada aresta é contada por duas faces:

$$x + y = 14, \qquad mx + ny = 2\cdot 36 = 72$$

3. Testando.

$(m, n)$ equação para $y$ $y$ possível?
$(3, 4)$ $42 + y = 72$ $30$ não ($y > 14$)
$(3, 5)$ $42 + 2y = 72$ $15$ não ($y > 14$)
$(3, 7)$ $42 + 4y = 72$ $7{,}5$ não
$(3, 8)$ $42 + 5y = 72$ $6$ sim: 8 triângulos e 6 octógonos
$(4, 5)$ $56 + y = 72$ $16$ não ($y > 14$)

O caso $(3, 8)$ existe de fato: é o cubo truncado (corte os 8 cantos de um cubo). Ele tem 8 faces triangulares, 6 octogonais, 24 vértices e 36 arestas, e em cada vértice se encontram 3 faces.

Resposta: alternativa D.

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Questão 45: A área do quadrilátero APMS

Enunciado

Considere um triângulo $ABC$ e $M$ o ponto médio do lado $\overline{BC}$. Tome o ponto $R \ne A$ na reta $AB$ tal que $m(\overline{AB}) = m(\overline{BR})$ e o ponto $Q$ na reta $AC$ tal que $m(\overline{AC}) = 2\,m(\overline{CQ})$ e $Q$ não esteja no segmento $\overline{AC}$. A reta $RM$ corta o lado $\overline{AC}$ no ponto $S$ e a reta $QM$ corta o lado $\overline{AB}$ no ponto $P$. Sendo 24 a área do triângulo $ABC$, o valor da área do quadrilátero $APMS$ vale:

  • A) 15.
  • B) 16.
  • C) 17.
  • D) 18.
  • E) 19.

Resolução

1. Vetores a partir de $A$. Ponha $A$ na origem e chame $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$. Então

  • $R$ é o simétrico de $A$ em relação a $B$: $R = 2\vec{b}$;
  • $Q$ está além de $C$, a meia distância $AC$: $Q = \frac{3}{2}\vec{c}$;
  • $M = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

2. O ponto $S$. Na reta $RM$: $2\vec{b} + t\left(M - R\right) = \left(2 - \frac{3t}{2}\right)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$. Está na reta $AC$ quando o coeficiente de $\vec{b}$ é zero: $t = \frac{4}{3}$, e $S = \frac{2}{3}\vec{c}$.

3. O ponto $P$. Na reta $QM$: $\frac{3}{2}\vec{c} + s\left(M - Q\right) = \frac{s}{2}\vec{b} + \left(\frac{3}{2} - s\right)\vec{c}$. Está em $AB$ quando $s = \frac{3}{2}$, e $P = \frac{3}{4}\vec{b}$.

4. Área por dois triângulos. Divida $APMS$ pela diagonal $AM$. Lembrando que $S_{ABM} = S_{AMC} = 12$ (a mediana divide a área ao meio):

  • $S_{APM} = \frac{AP}{AB}\cdot S_{ABM} = \frac{3}{4}\cdot 12 = 9$;
  • $S_{AMS} = \frac{AS}{AC}\cdot S_{AMC} = \frac{2}{3}\cdot 12 = 8$.
$$S_{APMS} = 9 + 8 = 17$$

Conferindo pela fórmula do produto vetorial (shoelace): a área é $\frac{1}{2}\left|P \times M + M \times S\right| = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{3}\right)|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{17}{48}\cdot 48 = 17$ ✔ (com $|\vec{b} \times \vec{c}| = 2\cdot 24$).

Resposta: alternativa C (17).

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Questão 46: Quando aᵐ = bᵐ?

Enunciado

Sejam $a = 1 + 3\sqrt{3}\,i$ e $b = 2\sqrt{3} + 4i$ números complexos. O menor valor $m \in \mathbb{N}$ tal que $a^m = b^m$ é:

  • A) 6.
  • B) 8.
  • C) 10.
  • D) 12.
  • E) não existe $m \in \mathbb{N}$ satisfazendo esta igualdade.

Resolução

1. Mesmo módulo. $|a|^2 = 1 + 27 = 28$ e $|b|^2 = 12 + 16 = 28$.

2. O quociente. $a^m = b^m \iff \left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$. Calculando:

$$\frac{a}{b} = \frac{(1 + 3\sqrt{3}\,i)(2\sqrt{3} - 4i)}{28} = \frac{2\sqrt{3} - 4i + 18i + 12\sqrt{3}}{28} = \frac{14\sqrt{3} + 14i}{28} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \operatorname{cis}\frac{\pi}{6}$$

3. A menor potência. $\operatorname{cis}\frac{m\pi}{6} = 1 \iff \frac{m\pi}{6}$ é múltiplo de $2\pi$ $\iff m$ é múltiplo de 12. O menor é $m = 12$.

Resposta: alternativa D (12).

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Questão 47: Perpendicular à bissetriz por B

Enunciado

Considere o triângulo de vértices $A = (0, 0)$, $B = (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ e $C = \left(\frac{5}{2}\sqrt{2}, 0\right)$. A equação da reta que passa por $B$ e é perpendicular à bissetriz do ângulo $A\hat{B}C$ é:

  • A) $y = (5 - 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$.
  • B) $y = (5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$.
  • C) $y = (5 - \sqrt{6})x + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$.
  • D) $y = -(5 + 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$.
  • E) $y = (-5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$.

Resolução

A reta por $B$ perpendicular à bissetriz interna é a bissetriz externa em $B$. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são os vetores unitários de $B$ para $A$ e de $B$ para $C$, a bissetriz interna tem direção $\vec{u} + \vec{v}$ e a externa, $\vec{u} - \vec{v}$ (os dois são perpendiculares porque $|\vec{u}| = |\vec{v}|$).

1. Vetores unitários.

  • $\overrightarrow{BA} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$, com módulo $\sqrt{5}$: $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$.
  • $\overrightarrow{BC} = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{3}\right)$, com módulo $\sqrt{\frac{9}{2} + 3} = \sqrt{\frac{15}{2}}$: $\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{15}}(3, -\sqrt{6})$.

2. Direção da bissetriz externa. Multiplicando $\vec{u} - \vec{v}$ por $\sqrt{15}$:

$$\sqrt{15}(\vec{u} - \vec{v}) = (-\sqrt{6}, -3) - (3, -\sqrt{6}) = (-3 - \sqrt{6},\ \sqrt{6} - 3)$$

3. Coeficiente angular.

$$m = \frac{\sqrt{6} - 3}{-(3 + \sqrt{6})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}} = \frac{(3 - \sqrt{6})^2}{9 - 6} = \frac{15 - 6\sqrt{6}}{3} = 5 - 2\sqrt{6}$$

4. A reta por $B$.

$$y = (5 - 2\sqrt{6})(x - \sqrt{2}) + \sqrt{3} = (5 - 2\sqrt{6})x - 5\sqrt{2} + 2\sqrt{12} + \sqrt{3} = (5 - 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$$

(usamos $2\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$).

Conferindo: com o computador, o produto escalar entre $\vec{u} - \vec{v}$ e $\vec{u} + \vec{v}$ dá 0 e a inclinação $\approx 0{,}101 = 5 - 2\sqrt{6}$ ✔

Resposta: alternativa A.

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Questão 48: A elipse mais achatada que contém o círculo

Enunciado

Considere a elipse dada pela equação

$$\lambda x^2 + (\lambda + 4)y^2 - 4\lambda x - (10\lambda + 40)y + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0,$$

e o círculo de equação

$$x^2 + y^2 - 4x - 12y + 36 = 0.$$

Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de $\lambda \in \mathbb{R} - \{-4, 0\}$ quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:

  • A) 3.
  • B) 5.
  • C) 9.
  • D) 13.
  • E) 15.

Resolução

1. Forma reduzida da elipse. Completando quadrados ($x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ e $y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25$):

$$\lambda(x - 2)^2 + (\lambda + 4)(y - 5)^2 - 4\lambda - 25(\lambda + 4) + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0$$$$\lambda(x - 2)^2 + (\lambda + 4)(y - 5)^2 = \lambda(\lambda + 4) \quad\Rightarrow\quad \frac{(x - 2)^2}{\lambda + 4} + \frac{(y - 5)^2}{\lambda} = 1$$

É elipse para $\lambda > 0$: centro $(2, 5)$, semieixo horizontal $\sqrt{\lambda + 4}$ (o maior) e vertical $\sqrt{\lambda}$.

2. Excentricidade. $e^2 = 1 - \frac{\lambda}{\lambda + 4} = \frac{4}{\lambda + 4}$: a excentricidade é máxima quando $\lambda$ é o menor possível.

3. O círculo. $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$: centro $(2, 6)$, raio 2. Ele vai de $y = 4$ a $y = 8$.

4. Condição de contenção. O ponto mais alto do círculo, $(2, 8)$, precisa estar na elipse ou dentro dela:

$$\frac{(8 - 5)^2}{\lambda} \le 1 \quad\Rightarrow\quad \lambda \ge 9$$

Para $\lambda = 9$, o círculo inteiro fica dentro: um ponto do círculo é $(2 + 2\cos t,\ 6 + 2\operatorname{sen} t)$, e com $s = \operatorname{sen} t$,

$$\frac{4\cos^2 t}{13} + \frac{(1 + 2s)^2}{9} = \frac{4(1 - s^2)}{13} + \frac{(1 + 2s)^2}{9}$$

é crescente em $s \in [-1, 1]$ (a derivada $-\frac{8s}{13} + \frac{4 + 8s}{9}$ só se anula em $s \approx -1{,}6$) e atinge o valor máximo 1 em $s = 1$, isto é, no ponto $(2, 8)$, onde o círculo tangencia a elipse por dentro. Logo o menor $\lambda$ é 9.

Resposta: alternativa C ($\lambda = 9$).

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