Se existe alguém que merece o título de “arquiteto da notação moderna”, é Leonhard Euler. Ele escreveu mais páginas de matemática do que qualquer pessoa na história, e escreveu para ser lido: seus livros eram usados para ensinar, e as convenções que ele adotava se espalhavam junto com eles. Muitos símbolos que parecem ter existido sempre passaram pelas mãos dele.

Leonhard Euler (1707–1783), em retrato de Jakob Emanuel Handmann, 1753.
Leonhard Euler (1707–1783), em retrato de Jakob Emanuel Handmann, 1753.Jakob Emanuel Handmann · domínio público
  1. 1706
    William Jones usa $\pi$ para a razão entre a circunferência e o diâmetro. Quase ninguém repara.
  2. 1727
    Num manuscrito, Euler chama de $e$ o número cujo logaritmo é $1$.
  3. 1734
    Euler escreve $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$: é o nascimento da notação $f(x)$ para funções.
  4. 1736
    Na Mechanica, Euler adota o $\pi$ de Jones; com a Introductio (1748), o símbolo vira padrão.
  5. 1755
    Euler usa $\Sigma$ para indicar uma soma.
  6. 1777
    Euler usa $i$ para $\sqrt{-1}$, num texto publicado só depois da sua morte.

O que esses símbolos têm em comum é que cada um transforma uma descrição num nome. Antes de Euler, para falar de uma função era preciso descrever a regra (“a quantidade formada de $x$ elevando ao quadrado e somando um”). Depois de $f(x)$, a regra ganha um nome curto, e um nome pode entrar em outras contas: $f(x+h)-f(x)$, $f(g(x))$, $f'(x)$. A função vira um objeto que se manipula como se manipulava um número. Para mais detalhes sobre cada símbolo, veja a linguagem que Euler nos deixou.

A função, uma frase com um buraco

A palavra função vem do latim functio, do verbo fungi: cumprir uma tarefa, exercer um ofício. Uma função é algo que faz alguma coisa. O símbolo levou quase cem anos para chegar ao $f(x)$:

Ano Autor Como a função aparecia
1637 René Descartes uma equação entre $x$ e $y$, ligada a uma curva
1667 James Gregory quantitas, uma quantidade obtida de outras
1671 Isaac Newton fluente, a grandeza que flui
1673 Leibniz a palavra functio
1718 Johann Bernoulli $\varphi x$, sem parênteses
1734 Leonhard Euler $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$, com parênteses
1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet a definição moderna: qualquer regra que associe a cada $x$ um único $y$

Os antigos textos deste site propunham uma maneira curiosa de ler uma função: como uma frase com um buraco. A função “dobrar” seria

$$f=2\cdot(\quad),$$

uma instrução à espera de um número. Pôr $3$ no buraco dá $f(3)=2\cdot3=6$; pôr $x$ dá $f(x)=2x$. A função “subtrair dois” seria $(\quad)-2$, e “$(\quad)-1$ vezes $(\quad)-3$” descreve uma parábola que corta o eixo em $1$ e em $3$.

A ideia não é só didática. Em 1891, Gottlob Frege, de quem falaremos no texto sobre a lógica, defendeu exatamente isso no ensaio Função e conceito: uma função é uma expressão insaturada, com um lugar vazio, como $2\cdot(\quad)^3+(\quad)$, que só vira um número quando o vazio é preenchido. O $x$ de Euler é o jeito econômico de marcar esse buraco, e os parênteses de $f(x)$ desenham, literalmente, o lugar onde a entrada se encaixa.

Exercício: preencha o buraco

A função $g=(\quad)^2-1$ recebe um número, eleva ao quadrado e tira $1$. Então $g(3)=3^2-1=8$, $g(-3)=8$ e $g(0)=-1$. Escrevendo o buraco com a letra de Euler: $g(x)=x^2-1$. E $g(x+1)$? Basta pôr $x+1$ inteiro no buraco: $g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x$. Quem não pensa no buraco costuma escrever $x^2-1+1$, o que é outra função.

Exercício: f(x+h) − f(x)

Para $f(x)=x^2$, calcule $f(x+h)-f(x)$. Pondo $x+h$ no buraco: $(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$. Dividindo por $h$: $2x+h$, que tende a $2x$ quando $h$ tende a zero. É a derivada de $x^2$, e a conta só fica tão curta porque a notação de Euler deixa escrever “o valor da função num ponto vizinho” em quatro sinais.

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