Euler's Eyes
2026-10-11
Existência e unicidade da perpendicular
De um ponto fora de uma reta, como baixar uma perpendicular até ela? Este é um dos poucos problemas antigos com um nome de autor registrado.
Quem descobriu
Proclo atribui a Enópides de Quios (século V a.C.) o primeiro estudo do problema de traçar uma perpendicular a uma reta por um ponto fora dela; Enópides chamava essa reta de “gnomônica”, em referência ao gnômon, a haste vertical dos relógios de sol. As soluções clássicas estão nos Elementos de Euclides: a proposição I.11 levanta a perpendicular por um ponto da reta, e a I.12 a baixa por um ponto fora dela.
A história
A construção de Euclides é simples: com centro no ponto, traça-se uma circunferência que corte a reta em dois pontos; a perpendicular passa pelo ponto médio entre eles. A prova usa triângulos congruentes — os mesmos métodos do capítulo anterior.
A mediatriz, perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento, ganhou importância muito além da geometria escolar. Em 1854, o médico John Snow mapeou as mortes por cólera em Londres e associou cada caso à bomba d’água mais próxima, dividindo o bairro por proximidade. Dividir uma região pelas mediatrizes entre pontos — o “diagrama de Voronoi” — ainda é usado para decidir qual escola, hospital ou antena atende cada endereço.
No dia a dia
- O menor caminho até a margem. De um ponto fora de uma reta, o caminho mais curto até ela é a perpendicular. Quem nada até a borda da piscina segue essa linha.
- Altura de um prédio. A altura é medida na perpendicular ao chão, não ao longo de uma escada inclinada.
- Mediatriz. Um ponto de ônibus que deve ficar à mesma distância de duas escolas fica sobre a mediatriz do segmento que as une.
- Celular. Seu telefone se conecta, em geral, à antena mais próxima; as fronteiras entre as regiões de cada antena seguem mediatrizes.
Fontes: Enópides (MacTutor) · Elementos, proposição I.12 · Elementos, proposição I.11.
Teoria e construções
TeoremaPerpendicular por um ponto da reta
Num plano, por um ponto $P$ de uma reta $r$ passa uma única reta $s$ perpendicular a $r$.
Existência: pelo transporte de ângulos, construímos num dos semiplanos de $r$ o ângulo $s_1\hat{P}r_1$ congruente a um ângulo reto; a reta $s$ que contém $s_1$ é perpendicular a $r$. Unicidade: se duas retas distintas $x$ e $y$ por $P$ fossem perpendiculares a $r$, as semirretas $Px_1$ e $Py_1$, num mesmo semiplano, formariam com $Pr_1$ dois ângulos retos distintos — o que contradiz o transporte de ângulos.
TeoremaPerpendicular por um ponto fora da reta
Por um ponto $P$ fora de uma reta $r$ passa uma única reta perpendicular a $r$.
Ver a demonstração
Existência. Trace por $P$ uma reta que corta $r$ em $O$, e seja $Or_1$ uma semirreta de $r$. No semiplano oposto ao de $P$, tome $Q$ com $r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$ e $\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$. A reta $s = \overleftrightarrow{PQ}$ é perpendicular a $r$: se $\overline{PQ}$ corta $r$ em $X = O$, os ângulos são retos; se $X \neq O$, por LAL, $\triangle OXP \equiv \triangle OXQ$, e $O\hat{X}P \equiv O\hat{X}Q$ são retos.
Unicidade. Se $x$ e $y$, distintas, passassem por $P$ perpendiculares a $r$ (em $X$ e $Y$), tome $Q$ na semirreta oposta a $\overrightarrow{YP}$ com $\overline{YQ} \equiv \overline{YP}$. Por LAL, $\triangle PXY \equiv \triangle QXY$, e $Q\hat{X}Y$ seria reto. Então por $X$ passariam duas perpendiculares a $r$ ($x$ e $XQ$), o que contradiz o teorema anterior.
Altura e mediatriz
DefiniçãoAltura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidades nessa reta e no vértice oposto. Se $H_a$ é a interseção da reta $BC$ com a perpendicular a ela por $A$, $\overline{AH_a}$ é a altura relativa ao lado $\overline{BC}$ (ou ao lado $a$, ou ao vértice $A$). $H_a$ é o pé da altura.
DefiniçãoMediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio.