Os geômetras se ocuparam muito da solução geral das equações algébricas, e vários deles procuraram provar a sua impossibilidade. Mas, se não me engano, ninguém conseguiu até hoje.

— Niels Henrik Abel, Memória sobre as equações algébricas (1824)

Toda pessoa que passou pela escola conhece uma fórmula para resolver equações: a do segundo grau. A equação $ax^2+bx+c=0$ tem as raízes

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

A receita usa só as quatro operações e uma raiz quadrada. Os babilônios já sabiam resolver problemas desse tipo há quase quatro mil anos, e Euclides os resolveu com quadrados e retângulos. A pergunta natural é: existem receitas assim para as equações de grau maior?

Os graus 3 e 4

Para o grau 3, a resposta veio na Itália do Renascimento. Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano encontraram a fórmula, que Cardano publicou em 1545 no livro Ars magna. Para a equação $x^3+px+q=0$, uma raiz é

$$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$

Vamos conferir com $x^3+6x-20=0$, ou seja, $p=6$ e $q=-20$. Primeiro, a raiz quadrada:

$$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$

A fórmula dá

$$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$

Parece horrível, mas $(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$, e do mesmo jeito $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$. Então

$$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$

De fato, $2^3+6\cdot2-20=0$. Pouco depois, Lodovico Ferrari, aluno de Cardano, encontrou a fórmula do grau 4, publicada no mesmo livro. As duas usam só as quatro operações e raízes: dizemos que essas equações se resolvem por radicais.

Duzentos e cinquenta anos de tentativas

Faltava o grau 5. Durante mais de dois séculos, os maiores matemáticos tentaram, e todos os truques que funcionavam até o grau 4 emperravam. Em 1771, Lagrange explicou por que os truques funcionavam: eles dependiam de como certas expressões das raízes mudam quando as raízes são embaralhadas. Para o grau 5, a conta não fechava. Em 1799, o italiano Paolo Ruffini publicou uma prova de que não havia fórmula, mas ela tinha lacunas e quase ninguém a aceitou.

O teorema de Abel

Em 1824, Abel deu a prova completa:

$$\boxed{\text{Não existe fórmula com as quatro operações e raízes para a equação geral de grau }n\geq5.}$$

Hoje o resultado se chama teorema de Abel-Ruffini. A ideia da prova é imaginar que uma fórmula assim existe e ver como ela teria de ser construída: em camadas, cada camada tirando uma raiz de expressões feitas com as camadas anteriores. Abel mostrou que cada uma dessas raízes intermediárias teria de ser, ela mesma, uma expressão das cinco raízes da equação. Aí entra o argumento de Lagrange e Ruffini: há $5!=120$ maneiras de embaralhar cinco raízes, e as expressões que uma fórmula precisaria usar teriam de mudar de um jeito que nenhuma expressão de cinco letras consegue mudar. A suposição leva a uma contradição.

É preciso entender bem o que o teorema diz. Ele não diz que nenhuma equação do quinto grau pode ser resolvida. A equação $x^5-32=0$ tem a raiz $x=\sqrt[5]{32}=2$. O que não existe é uma fórmula geral, que funcione para todas as equações de grau 5 a partir dos coeficientes. E há equações específicas, como

$$x^5-x-1=0,$$

cuja raiz real, $x\approx1{,}1673$, existe e pode ser calculada com quantas casas se quiser, mas não pode ser escrita com radicais de jeito nenhum. Quais equações se resolvem e quais não se resolvem foi a pergunta que Galois respondeu poucos anos depois.

Exercício: aplique a fórmula de Cardano a x³ − 15x − 4 = 0, como fez Rafael Bombelli em 1572.

Aqui $p=-15$ e $q=-4$, e $\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=4-125=-121$. A fórmula pede $\sqrt{-121}=11i$, a raiz de um número negativo: $x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$. Bombelli percebeu que $(2+i)^3=8+12i-6-i=2+11i$ e que $(2-i)^3=2-11i$. Então $x=(2+i)+(2-i)=4$, e de fato $64-60-4=0$. Os números imaginários entraram na matemática por essa porta: para chegar a uma resposta real, a fórmula do grau 3 às vezes precisa passar por eles.

Exercício: a equação x⁵ − 3 = 0 se resolve por radicais? Isso contradiz o teorema de Abel?

Sim, $x=\sqrt[5]3\approx1{,}2457$ é uma raiz, escrita com um radical. Não há contradição: o teorema fala da equação geral $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$, com coeficientes quaisquer. Algumas equações particulares de grau 5 se resolvem por radicais; o que não existe é uma única fórmula que sirva para todas.

Fontes: Niels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques (Christiania, 1824) e “Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1 (1826) · Peter Pesic, Abel’s Proof (MIT Press, 2003) · biografia de Abel, MacTutor.

Todos os tópicos de Niels Henrik Abel · ← A vida de Niels Henrik Abel · A série binomial e as séries do diabo →

Créditos das imagens.