Uma mesma letra, $f$, e três frases:

$$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$

A primeira dá um nome: a partir daqui, $f$ é a função que eleva ao quadrado. A segunda enuncia uma lei: para todo $x$, o valor de $f$ é $x$ vezes $x$. A terceira faz uma pergunta: para quais $x$ a função vale $4$? A resposta é $x=2$ ou $x=-2$.

O sinal é idêntico nas três. A tarefa do leitor, não:

Tipo Pergunta que responde O que se faz com ela Exemplo
Equação para que valores é verdade? resolve-se $x^2=4$
Identidade é verdade para todos? prova-se $(x-2)(x+2)=x^2-4$
Definição o que este nome quer dizer? aceita-se $n!=1\cdot2\cdots n$

Uma definição não é verdadeira nem falsa: é um batismo. Não faz sentido “provar” que $n!=1\cdot2\cdots n$, assim como não faz sentido provar que o nome de alguém é Maria. Uma identidade, ao contrário, precisa ser provada, e uma equação precisa ser resolvida. Quem confunde os três trabalhos faz a coisa certa com o objeto errado.

Sinais que tentam avisar

Ao longo dos séculos, vários matemáticos tentaram dar a cada trabalho o seu sinal.

  • O $\equiv$ para identidades. Segundo o historiador Florian Cajori, Bernhard Riemann já o usava em 1857 para dizer “igual para todos os valores”. Ainda aparece em livros de física e de engenharia: $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x\equiv1$.
  • O $:=$ para definições. Os dois-pontos ficam do lado do nome novo: $f(x):=x^2$ lê-se “$f(x)$ é, por definição, $x^2$”. O sinal ficou popular com as linguagens de programação, onde marca a atribuição, e se espalhou pelos livros de matemática no fim do século XX.
  • O $\overset{\text{def}}{=}$ ou $\stackrel{\triangle}{=}$. Variações que põem a palavra “definição” em cima do igual. Mais explícitas, menos usadas.

Nenhum deles venceu de vez. A maioria dos livros continua a escrever $=$ para tudo e confia no contexto: palavras como “seja”, “defina”, “para todo”, “resolva” fazem o trabalho que o sinal não faz. É um caso típico de notação que deixa para a pragmática, no sentido de Morris, o que a sintaxe não diz (veja o capítulo 2).

O sonho do calouro lido como equação

Um dos erros mais famosos da álgebra é escrever

$$(a+b)^2=a^2+b^2.$$

Em inglês, ele tem até apelido: freshman’s dream, o sonho do calouro. Como identidade, a frase é falsa: com $a=b=1$, o lado esquerdo vale $4$ e o direito vale $2$. Mas veja o que acontece quando ela é lida como equação, uma pergunta sobre $a$ e $b$:

$$\begin{aligned} (a+b)^2=a^2+b^2&\iff a^2+2ab+b^2=a^2+b^2\\ &\iff 2ab=0\\ &\iff a=0\ \text{ ou }\ b=0. \end{aligned}$$

A equação tem resposta, e a resposta é precisa: o sonho do calouro só é verdade quando uma das duas letras é zero. Ler o igual como pergunta transformou um erro numa descoberta, e mostrou exatamente o tamanho do erro.

O contrário também acontece. Um aluno a quem se pede para provar a identidade $(x+1)^2-(x-1)^2=4x$ às vezes começa a “resolver”: passa tudo para um lado, simplifica, chega a $0=0$ e não sabe o que fazer com isso. O $0=0$ é o sinal de que a frase vale para todo $x$: a equação que ele tentou resolver tem como conjunto de soluções todos os números. Ele provou a identidade sem perceber.

Exercício: equação, identidade ou definição?

(a) $(x+1)^2=x^2+2x+1$. (b) $(x+1)^2=9$. (c) $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$. (d) $x+1=x+2$.

(a) Identidade: vale para todo $x$. (b) Equação: $x+1=3$ ou $x+1=-3$, logo $x=2$ ou $x=-4$. (c) Definição do número binomial (embora, em alguns livros, $\binom nk$ seja definido como “número de subconjuntos” e a fórmula vire um teorema). (d) Equação sem solução: subtraindo $x+1$, sobra $0=1$.

Exercício: √(x²) = x é uma identidade?

Não. Com $x=-3$, o lado esquerdo vale $\sqrt9=3$ e o direito vale $-3$. A identidade correta é $\sqrt{x^2}=|x|$. Lida como equação, $\sqrt{x^2}=x$ pergunta quando $|x|=x$, e a resposta é: para todo $x\geq0$. O conjunto de soluções não é tudo nem nada, mas uma metade da reta.

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