Euler's Eyes
2026-10-12
Relações métricas
O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo.
Quem descobriu
A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.
A história
A prova deste capítulo é a de Euclides no livro VI: a altura divide o triângulo em dois triângulos semelhantes ao original, e as proporções dão as relações métricas; somando duas delas sai o teorema de Pitágoras. Poucas afirmações da matemática foram provadas de tantas maneiras: o professor norte-americano Elisha Loomis reuniu 370 demonstrações diferentes na edição de 1940 do livro The Pythagorean Proposition — entre elas uma do futuro presidente dos Estados Unidos James Garfield, de 1876, feita com um trapézio.
O teorema também é uma porta para os números irracionais: a diagonal de um quadrado de lado 1 mede $\sqrt{2}$, e a descoberta de que esse número não é uma fração abalou a escola pitagórica.
No dia a dia
- Esquadro de obra. Para conferir se duas paredes formam ângulo reto, o pedreiro marca 3 m numa, 4 m na outra e confere se a diagonal mede 5 m — a recíproca do teorema.
- Telas. A “polegada” de uma TV é a diagonal: uma tela de 16 por 9 unidades tem diagonal $\sqrt{16^2 + 9^2} \approx 18{,}4$ unidades.
- Mapas e GPS. A distância em linha reta entre dois pontos de um mapa quadriculado é calculada pelo teorema de Pitágoras.
- Escadas e rampas. O comprimento de uma rampa sai da altura a vencer e da distância horizontal disponível.
Fontes: Pitágoras (MacTutor) · Elementos, proposição I.47 · Elementos, proposição VI.8 · Pitágoras na Babilônia (MacTutor).
Teoria e construções
Elementos
DefiniçãoElementos do triângulo retângulo
Num triângulo $ABC$, retângulo em $A$, conduzimos $\overline{AD}$ perpendicular a $\overline{BC}$, com $D$ em $\overline{BC}$:
| Segmento | Medida | Nome |
|---|---|---|
| $\overline{BC}$ | $a$ | hipotenusa |
| $\overline{AC}$ | $b$ | cateto |
| $\overline{AB}$ | $c$ | cateto |
| $\overline{BD}$ | $m$ | projeção do cateto $c$ sobre a hipotenusa |
| $\overline{CD}$ | $n$ | projeção do cateto $b$ sobre a hipotenusa |
| $\overline{AD}$ | $h$ | altura relativa à hipotenusa |
Para simplificar, confundimos um segmento com a sua medida: dizemos que “$a$ é a hipotenusa” no lugar de “$a$ é a medida da hipotenusa”.
Semelhanças
TeoremaA altura divide o triângulo em triângulos semelhantes
A altura $\overline{AD}$ relativa à hipotenusa determina dois triângulos retângulos, $DBA$ e $DAC$, semelhantes ao triângulo $ABC$:
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA \sim \triangle DAC.$$Ver a demonstração
Sejam $\hat 1 = B\hat AD$ e $\hat 2 = D\hat AC$. Como $\hat B$ e $\hat 1$ são ambos complementos de $\hat 2$ (nos triângulos $ABD$ e $ABC$), temos $\hat B \equiv \hat 1$; do mesmo modo, $\hat C \equiv \hat 2$. Cada par de triângulos tem um ângulo reto e outro ângulo congruente; pelo caso AA, os três triângulos são semelhantes.
Relações métricas
Das três semelhanças, escrevendo as razões entre lados homólogos:
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA:\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \;\Rightarrow\; c^2 = a\,m \quad\text{e}\quad b\,c = a\,h$$$$\triangle ABC \sim \triangle DAC:\quad \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \;\Rightarrow\; b^2 = a\,n \quad\text{e}\quad b\,h = c\,n$$$$\triangle DBA \sim \triangle DAC:\quad \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h} \;\Rightarrow\; h^2 = m\,n \quad\text{e}\quad c\,h = b\,m$$ResumoRelações métricas no triângulo retângulo
| (1) $b^2 = a \cdot n$ | (4) $b \cdot c = a \cdot h$ |
| (2) $c^2 = a \cdot m$ | (5) $b \cdot h = c \cdot n$ |
| (3) $h^2 = m \cdot n$ | (6) $c \cdot h = b \cdot m$ |
Média proporcional. O segmento $x$ é média proporcional (ou média geométrica) entre $r$ e $s$ quando $\dfrac{r}{x} = \dfrac{x}{s}$, isto é, $x^2 = r \cdot s$ ou $x = \sqrt{r \cdot s}$. Com essa linguagem:
PropriedadeEnunciados das relações
Em qualquer triângulo retângulo:
- cada cateto é média proporcional entre a sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa: $b^2 = a\,n$ e $c^2 = a\,m$;
- a altura relativa à hipotenusa é média proporcional entre os segmentos que ela determina sobre a hipotenusa: $h^2 = m\,n$;
- o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela: $b\,c = a\,h$;
- o produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa: $b\,h = c\,n$ e $c\,h = b\,m$.
Teorema de Pitágoras
TeoremaTeorema de Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:
$$b^2 + c^2 = a^2.$$Ver a demonstração
Somando membro a membro as relações (1) e (2):
$$b^2 + c^2 = a\,n + a\,m = a\,(m + n) = a \cdot a = a^2.$$AtençãoObservações
1ª) As três primeiras relações, $b^2 = a\,n$, $c^2 = a\,m$ e $h^2 = m\,n$, são as mais importantes: delas decorrem todas as outras. Por exemplo, multiplicando (1) por (2) e usando (3): $b^2c^2 = a^2 m n = a^2 h^2$, logo $b\,c = a\,h$.
2ª) Num triângulo retângulo, a soma dos inversos dos quadrados dos catetos é igual ao inverso do quadrado da altura relativa à hipotenusa:
$$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}.$$De fato, $\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{c^2 + b^2}{b^2c^2} = \dfrac{a^2}{a^2h^2} = \dfrac{1}{h^2}$.
Recíproco do teorema de Pitágoras
TeoremaRecíproco do teorema de Pitágoras
Se num triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo:
$$\triangle ABC \text{ com } a^2 = b^2 + c^2 \;\Longrightarrow\; \triangle ABC \text{ é retângulo em } A.$$Ver a demonstração
Construímos o triângulo $MNP$, retângulo em $M$, com catetos $\overline{MN} \equiv \overline{AB}$ e $\overline{MP} \equiv \overline{AC}$. Pelo teorema de Pitágoras em $MNP$, $m^2 = n^2 + p^2 = b^2 + c^2 = a^2$, logo $m = a$. Pelo caso LLL, $\triangle ABC \equiv \triangle MNP$ e, como $MNP$ é retângulo em $M$, o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$.
PropriedadeMediana relativa à hipotenusa
A mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. Por isso o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo — a hipotenusa é um diâmetro (é o ângulo inscrito na semicircunferência do capítulo 11).