Euler's Eyes
2026-10-11
Existência e unicidade da paralela
Por um ponto fora de uma reta passa uma paralela. Que passe só uma é a afirmação mais discutida da história da geometria.
Quem descobriu
A existência da paralela é demonstrada por Euclides (proposição I.31). A unicidade depende do seu quinto postulado, aquele que muitos tentaram transformar em teorema. A forma usada hoje na escola — “por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela” — ficou conhecida como axioma de Playfair, por causa do escocês John Playfair, que a popularizou em 1795, embora Proclo já a tivesse enunciado. Em 1829, o russo Nikolai Lobachevsky publicou uma geometria em que passam infinitas paralelas.
A história
Por mais de dois mil anos, matemáticos tentaram provar o quinto postulado a partir dos outros: Ptolomeu e Proclo na Antiguidade, Ibn al-Haytham, Omar Khayyam e Nasir al-Din al-Tusi no mundo islâmico, Girolamo Saccheri (1733), Lambert e Legendre na Europa. Todos acabavam usando, sem perceber, alguma afirmação equivalente ao próprio postulado.
A virada veio quando Lobachevsky (1829) e o húngaro János Bolyai (1832), de forma independente, aceitaram a negação do postulado e obtiveram uma geometria sem contradições. Gauss chegou às mesmas ideias, mas nunca as publicou. O quinto postulado não é um teorema: é uma escolha, e a geometria deste livro é a que o adota.
No dia a dia
- Mapas e globos. Na superfície da Terra não existem paralelas no sentido de Euclides: os meridianos, que parecem paralelos no equador, se encontram nos polos.
- Rotas de avião. A rota mais curta entre São Paulo e Tóquio não é uma linha reta no mapa plano, e sim um arco de círculo máximo.
- GPS. Os relógios dos satélites são corrigidos pela relatividade geral, teoria de Einstein que descreve o espaço-tempo com uma geometria não euclidiana.
- Desenho técnico. Réguas paralelas e esquadros deslizantes traçam, por cada ponto, a única paralela a uma reta dada.
Fontes: Geometria não euclidiana (MacTutor) · Elementos, postulado 5 · Playfair (MacTutor) · Lobachevsky (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaExistência da paralela
Se duas retas coplanares distintas e uma transversal determinam ângulos alternos (ou correspondentes) congruentes, então essas duas retas são paralelas: $\alpha \equiv \beta \Rightarrow a \parallel b$.
Demonstração (por absurdo)
- Se $a$ e $b$ não fossem paralelas, teriam um ponto $P$ em comum.
- Sendo $a \cap t = \lbrace A \rbrace$ e $b \cap t = \lbrace B \rbrace$, teríamos o triângulo $ABP$.
- Um dos ângulos alternos seria ângulo externo desse triângulo, e o outro, um ângulo interno não adjacente. Pelo teorema do ângulo externo (capítulo 4), teríamos $\alpha > \beta$ ou $\beta > \alpha$.
- Isso contradiz a hipótese $\alpha \equiv \beta$. Logo, $a \parallel b$.
Construção da paralela. Para traçar por $P$ uma paralela a uma reta $a$: passamos por $P$ uma reta $t$, que corta $a$ em $M$; tomamos $A \in a$, $A \neq M$, e construímos, com vértice $P$ e lado $\overrightarrow{PM}$, o ângulo $M\hat{P}B \equiv A\hat{M}P$, com $B$ no semiplano oposto ao de $A$ em relação à reta $PM$. Os ângulos são alternos e congruentes; pelo teorema anterior, $\overleftrightarrow{PB} \parallel a$.
PostuladoPostulado de Euclides (postulado das paralelas)
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.
Esse postulado, de Euclides (300 a.C.), caracteriza a geometria que estudamos: a Geometria Euclidiana.
TeoremaRecíproca: paralelas formam alternos congruentes
Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, então os ângulos alternos (ou os correspondentes) são congruentes: $a \parallel b \Rightarrow \alpha \equiv \beta$.
Ver a demonstração
Se $\alpha$ e $\beta$ não fossem congruentes, existiria uma reta $x$, distinta de $b$, passando por $P$ ($\lbrace P \rbrace = b \cap t$) e formando com $t$ um ângulo $\beta^{\prime} \equiv \alpha$, alterno de $\alpha$. Pelo teorema da existência, $x \parallel a$. Então por $P$ passariam duas retas distintas, $x$ e $b$, paralelas a $a$ — o que contraria o postulado de Euclides. Logo $\alpha \equiv \beta$.
ResumoCondição necessária e suficiente
Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, formam com uma transversal ângulos alternos (ou correspondentes) congruentes:
$$\alpha \equiv \beta \iff a \parallel b.$$
