Euler's Eyes
2026-10-31
O legado de Bernhard Riemann
Riemann é o homem da intuição brilhante.
— Felix Klein, Lições sobre o desenvolvimento da matemática no século XIX (1926)
As obras completas de Riemann, editadas por Dedekind e Weber em 1876, cabem num volume de pouco mais de quinhentas páginas, incluindo os trabalhos póstumos e as notas. Poucos matemáticos deixaram tão pouco texto e tantas consequências.
O que leva o seu nome
- A integral de Riemann e as somas de Riemann, a definição de integral dos cursos de cálculo.
- As superfícies de Riemann e a esfera de Riemann, o plano complexo com um ponto no infinito, fechado como uma esfera.
- As equações de Cauchy–Riemann e o teorema da aplicação de Riemann.
- A geometria riemanniana, as variedades riemannianas, a métrica e o tensor de curvatura de Riemann, a linguagem da relatividade geral.
- O teorema de Riemann–Roch, que conta as funções que se podem definir numa superfície de Riemann, completado por seu aluno Gustav Roch em 1865.
- A função zeta de Riemann e a hipótese de Riemann.
- O teorema do rearranjo de Riemann, sobre as séries condicionalmente convergentes.
Um novo estilo
Mais que os resultados, Riemann mudou o estilo da matemática. Antes dele, uma função era sobretudo uma fórmula, e os matemáticos trabalhavam manipulando fórmulas. Riemann pensava em conceitos: uma função complexa definida pelas suas propriedades, não pela expressão; uma superfície definida sem estar desenhada em lugar nenhum; um espaço definido pela sua regra de medir. Os matemáticos do século XX, de Hilbert a Weyl, viam nele o fundador da matemática “conceitual” que se tornou dominante.
Esse estilo tinha um preço: Riemann muitas vezes afirmava resultados sem demonstração completa, confiando na intuição. A crítica de Weierstrass ao princípio de Dirichlet mostrou o risco, e várias gerações de matemáticos trabalharam para pôr em bases rigorosas as afirmações de Riemann. Quase todas estavam certas.
Na física
A geometria de Riemann ficou mais de meio século como matemática pura, até que Einstein, ajudado pelo amigo matemático Marcel Grossmann, percebeu entre 1912 e 1915 que ela era a ferramenta para a relatividade geral. Hoje a mesma linguagem descreve buracos negros, ondas gravitacionais e a expansão do universo. A função zeta, por sua vez, aparece na física estatística, na teoria quântica de campos e em estranhas coincidências: os espaçamentos entre os zeros da zeta seguem as mesmas estatísticas que os níveis de energia de núcleos atômicos pesados, uma observação feita em 1972 por Hugh Montgomery e Freeman Dyson.
Os lugares
Há uma cratera Riemann na Lua e um asteroide, 4167 Riemann. Em Breselenz, a aldeia natal, uma pedra com uma placa lembra o matemático, e em Göttingen uma placa marca uma das casas onde morou.
Exercício: a esfera de Riemann
A esfera de Riemann identifica o plano complexo com uma esfera, pela projeção a partir do polo norte. Para onde vão os pontos $z$ com $|z|$ muito grande?
A projeção estereográfica liga cada ponto da esfera, exceto o polo norte, a um ponto do plano pela reta que passa pelo polo norte. Pontos do plano muito longe da origem correspondem a pontos da esfera muito perto do polo norte. O próprio polo norte fica associado a um único “ponto no infinito”, $\infty$. Assim, funções como $\frac{1}{z}$ passam a estar definidas em toda a esfera: $\frac{1}{0} = \infty$ e $\frac{1}{\infty} = 0$.
Exercício: uma vida produtiva
Riemann publicou o primeiro grande trabalho, a tese, em 1851, e morreu em 1866. Se as obras completas têm cerca de 550 páginas, quantas páginas ele produziu, em média, por ano de carreira?
De 1851 a 1866 são 15 anos. $\frac{550}{15} \approx 37$ páginas por ano, menos de uma página por semana. Poucos casos mostram tão bem que, em matemática, o que conta é a profundidade das ideias, e não o volume.
Fontes: Richard Dedekind e Heinrich Weber (eds.), Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke (1876) · Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (1926–1927) · Detlef Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866 (1999) · Hugh L. Montgomery, “The pair correlation of zeros of the zeta function”, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 24 (1973).
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