O ângulo escolhe o papel do cateto

Escolha um ângulo agudo $\alpha$ em um triângulo retângulo. Em relação a ele, um cateto é oposto e o outro é adjacente. Se trocarmos de ângulo, esses papéis se invertem; a hipotenusa continua a mesma.

Catetos e hipotenusa em relação a um ângulo agudo.

Se dois triângulos têm o mesmo ângulo agudo, são semelhantes. Por isso, as razões entre seus lados correspondentes são iguais:

$$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$

Ao dividir o primeiro quociente pelo segundo, obtemos $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$. Como os ângulos agudos são complementares, também $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$.

Cinco tipos de dados

Chame a hipotenusa de $a$, o cateto oposto a $\alpha$ de $b$ e o adjacente de $c$.

Dados conhecidos Como completar
Hipotenusa $a$ e ângulo $\alpha$ $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$
Cateto oposto $b$ e ângulo $\alpha$ $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$
Cateto adjacente $c$ e ângulo $\alpha$ $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$
Hipotenusa $a$ e cateto $b $c=\sqrt{a^2-b^2}$, depois $\sin\alpha=b/a$
Catetos $b,c$ $a=\sqrt{b^2+c^2}$, depois $\tan\alpha=b/c$

Nos dois últimos casos, uma tabela ou calculadora em graus ajuda a obter o ângulo. A outra abertura aguda vale $90°-\alpha$. As funções inversas serão estudadas no Ensino Médio.

Exemplo resolvido: uma escada

Uma escada de 5 m faz $60°$ com o chão. Sua altura na parede é o cateto oposto:

$$h=5\sin60°=\frac{5\sqrt3}{2}\text{ m}.$$

A distância da base à parede é o cateto adjacente:

$$d=5\cos60°=\frac52=2{,}5\text{ m}.$$

Conferindo por Pitágoras, $h^2+d^2=75/4+25/4=25=5^2$.

Aplicação a uma altura observada

Se você mede a elevação até uma árvore a partir dos olhos, a conta dá o desnível entre os olhos e o topo. Some a altura dos olhos para obter a altura total da árvore. A distância horizontal e o ângulo devem referir-se ao mesmo triângulo.

No dia a dia

  • Altura com o celular. Um aplicativo mede o ângulo até o topo de um prédio, e a tangente transforma a distância em altura.
  • Rampas. A norma de acessibilidade limita a inclinação das rampas, e as razões trigonométricas dizem o comprimento necessário.
  • Escada de bombeiros. O seno do ângulo da escada diz a que altura ela chega.
Altura de um prédio pela tangente do ângulo medido no celular.

Exercícios com resolução

1. Um poste projeta sombra de 6 m quando a elevação do Sol é $45°$. Qual é sua altura?

Conferir resolução 1

$h=6\tan45°=6$ m, supondo poste vertical e terreno horizontal.

2. Uma escada de 13 m alcança 12 m de altura em uma parede vertical. A que distância da parede fica sua base?

Conferir resolução 2

$d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ m.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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