Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites.

— Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689)

Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$

Outras crescem sem parar. O difícil é saber de qual tipo é cada uma, porque o bom senso engana.

A série harmônica

Considere a soma dos inversos dos números inteiros:

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$

Os músicos a chamavam de harmônica, porque $\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ são os comprimentos de corda que dão os harmônicos de uma nota. As parcelas ficam cada vez menores e tendem a zero. A intuição diz que a soma deve parar em algum lugar. Mas ela cresce devagar demais para enganar:

Parcelas Soma aproximada
10 2,93
1 000 7,49
1 000 000 14,39
$10^{43}$ 100,0

São necessárias mais de $10^{43}$ parcelas para chegar a 100. Mesmo assim, Jakob mostrou que a soma passa de qualquer número.

A prova de Jakob

Ele separou a série em blocos que terminam em quadrados. Pegue um número $a$ e as parcelas de $\frac1a$ até $\frac1{a^2}$. Deixando $\frac1a$ de lado, sobram $a^2-a$ parcelas, e todas são pelo menos $\frac1{a^2}$, que é a menor delas. Então

$$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$

Cada bloco desses vale pelo menos 1. Agora é só encadear: de $\frac12$ a $\frac14$, de $\frac15$ a $\frac1{25}$, de $\frac1{26}$ a $\frac1{676}$, e assim por diante:

$$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$

Há infinitos blocos, cada um valendo pelo menos 1, então a soma passa de qualquer número. Ela diverge.

Jakob reconheceu que o irmão Johann tinha encontrado outra prova antes dele, e a publicou na mesma dissertação. Nenhum dos dois sabia que o francês Nicole Oresme tinha feito o mesmo por volta de 1350, agrupando as parcelas em blocos de tamanho 1, 2, 4, 8, …

Os quadrados: menos de 2

E se os denominadores forem quadrados?

$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\frac1{25}+\cdots$$

Aqui Jakob mostrou o contrário: a soma não passa de 2. O truque é comparar cada parcela com uma diferença. Para $n\geq2$,

$$\frac1{n^2}<\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n.$$

Somando de $n=2$ até $n=N$, quase tudo se cancela:

$$\begin{aligned}\sum_{n=2}^{N}\frac1{n^2}&<\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{N-1}-\frac1N\right)\\&=1-\frac1N<1.\end{aligned}$$

Juntando o primeiro termo, $1+\frac14+\frac19+\cdots<2$. A soma é uma sequência que cresce e não passa de 2, então chega a um número. Qual número? Jakob não conseguiu descobrir.

O pedido de ajuda

Jakob terminou a discussão com um apelo público, em latim, aos matemáticos da Europa:

Se alguém encontrar e nos comunicar o que até agora escapou aos nossos esforços, ficaremos muito gratos.

— Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689)

Ninguém conseguiu enquanto ele vivia. A pergunta ficou conhecida como problema de Basileia, por causa da cidade dos Bernoulli. Johann também tentou e falhou. Em 1735, um ex-aluno de Johann, Leonhard Euler, encontrou a resposta:

$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots=\frac{\pi^2}6\approx1{,}6449.$$

Johann, ao saber, lamentou que o irmão não estivesse vivo para ver.

Exercício: quantas parcelas da série harmônica são precisas para passar de 3?

As somas parciais são $1$, $1{,}5$, $1{,}833$, $2{,}083$, $2{,}283$, $2{,}45$, $2{,}593$, $2{,}718$, $2{,}829$, $2{,}929$, $3{,}020$. São necessárias 11 parcelas: $1+\frac12+\cdots+\frac1{11}\approx3{,}02$.

Exercício: use a mesma ideia para mostrar que 1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + ... vale exatamente 1.

Como $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$, a soma até $N$ é

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1N-\frac1{N+1}\right)=1-\frac1{N+1}.$$

Quando $N$ cresce, $\frac1{N+1}$ vai a zero, e a soma tende a $1$. Somas assim, em que tudo se cancela menos as pontas, se chamam telescópicas.

Fontes: Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (Basileia, 1689–1704; reunido no fim da Ars conjectandi, 1713) · William Dunham, Journey through Genius (Wiley, 1990), cap. 8 · biografia de Jacob Bernoulli, MacTutor.

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