OBMEP 2021: Segunda Fase - Nível 1

Exercício 1

No tabuleiro cada letra da palavra OBMEP representa um número inteiro de 1 a 5. Letras diferentes representam números diferentes. Além disso, cada número escrito na lateral do tabuleiro é a soma dos valores das letras da linha horizontal correspondente.

Desafio

A) Encontre o valor da letra O.

Resposta: 1

Desafio

Ao somarmos os valores da primeira linha, temos que

$$O + O + O + O = 4. $$

$$4\times O = 4. $$

Portanto, $O = 1.$

B) Encontre o valor da letra B.

Resposta: 11

Desafio
  • Da letra A temos que $O=1$.
  • Da linha dois temos:

Lembra da balança, para mais detalhes consulte equações de primeiro grau.

$$B + B + O + B = 7$$

$$3B + O = 7$$

$$3B + 1 {\color{red}{-1}} = 7 {\color{red}{-1}}$$

$$3B = 6$$

$$3B \times {\color{red}{\frac{1}{3}}} = 6 \times {\color{red}{\frac{1}{3}}}$$

$$B = 2$$

C) Encontre o valor da letra M.

Desafio
  • De (a) $O=1$
  • De (b) $B=2$
  • Ao somarmos os valores da última linha, temos que
$$E + P + O + B = 12$$

$$E + P + 1 + 2 = 12$$

$$E + P + 3 {\color{red}{-3}} = 12 {\color{red}{-3}}$$

$$E + P = 9$$

Por outro lado, do enunciado, as letras $O, B, M, E$ e $P$ representam, em alguma ordem, os números $1, 2, 3, 4$ e $5.$

Com isso,

$$ \begin{aligned} \underbrace{O + B}_{1+2=3} + M + \underbrace{E + P}_{9} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\ 3 + M + 9 = 15\\ M + 12 {\color{red}{-12}} = 15 {\color{red}{-12}} \end{aligned} $$

Portanto, $M = 3.$

D) Qual é a letra que representa o número 5?

Desafio
  • Já temos $O = 1$ e $B = 2$;
  • da terceira linha segue $M + E = 7$
    • $E=7-3 = 4$
  • Portanto, $P = 5$

Exercício 2

Uma régua de 30 cm é graduada em milímetros com marcações grandes, médias e pequenas, como indicado na figura.

Desafio

A) Qual é a distância, em milímetros, entre a décima primeira marcação pequena e a terceira marcação média?

Desafio
  • A terceira marcação média marca 2,5 cm (25 mm).
  • A décima primeira marcação pequena marca 1,3 cm (13 mm).
  • A distância, em milímetros, entre essas marcações é $25 - 13 = 12$ mm.

B) Quantas marcações pequenas tem a régua inteira?

Desafio
  • O número de marcações é $5-1 = 4$ marcações;
  • 1 par têm $8$ marcações;
  • 1 régua de 30 cm têm $30 \times 8 = 240$ marcações;

C) Qual é a marcação que está a 73 milímetros de distância da 215a marcação pequena? Justifique sua resposta.

Para encontrar entre qual par de marcações grandes está a 215a marcação pequena, devemos calcular o quociente da divisão de 215 por 8.

Desafio $$D=d\times q +r$$

$$215 = 26 × 8 + 7$$
  • A 215a marcação pequena está, então, na 7a marcação pequena depois do 26o par de marcações grandes.
  • A 215a marcação pequena marca, então, 26,8 cm (268 mm).
  • A marcação que está à distância de 73 milímetros da 215a marcação pequena ocorre necessariamente antes dessa marcação, senão ela estaria fora da régua.
  • A marcação que está à distância de 73 milímetros da 215a marcação pequena marca, então,
  • $268 - 73 = 195$ mm na 20a marcação média.

Exercício 3

Alice, Beatriz e Cláudia moram em uma rua de 200 metros de comprimento. Alice mora no início da rua, Beatriz a 80 metros de Alice e Cláudia no final da rua. Elas se encontram de vez em quando, sempre partindo de suas casas.

Desafio

A) Qual é a soma das distâncias que Alice e Beatriz percorrem quando elas se reúnem na casa de Cláudia?

Desafio
  • Sejam $d_{ac} = 200m$ distância de Alice até Cláudia e
  • $d_{bc}= 200-80=120m$ distância de Beatriz até Cláudia
  • $d_{abc}$ distância de Alice até Cláudia e distância de Beatriz até Cláudia
$$d_{abc} = d_{ac} + d_{bc} = 200 + 120 = 320 m$$

B) Se Alice, Beatriz e Cláudia se encontrarem na rua a 150 metros do seu início, qual será a soma das distâncias que elas percorrerão?

Desafio
  • Sejam $d_{ae} = 150m$ distância de Alice até ponto de encontro e
  • $d_{ce}= 50m$ distância de Cláudia até ponto de encontro
  • $d_{be}= 150-80 = 70m$ distância de Beatriz até ponto de encontro
  • $d_{t}$ distância total
$$d_{t} = d_{ae}+ d_{ce} + d_{be} = 150 + 50 + 70 = 270 m$$

C) As três amigas decidem se encontrar em algum ponto da rua tal que a soma das distâncias percorridas por elas seja a menor possível. A quantos metros do início da rua elas devem se encontrar?

Desafio
  • A soma da distância percorrida entre Alice e Cláudia sempre será 200m a qualquer ponto de encontro.
    • $d_{ac} + d_{ca}= 200m$ distância de Alice até Cláudia e distância de Cláudia até Alice
  • Para a distância percorrida ser a menor possível, a Beatriz nunca deve sair de casa, ou seja, o ponto de encontro deve ser na casa de Beatriz.
    • $d_{bc}= 0$ distância de Beatriz até Cláudia.

Portanto, a distância mínima é 200 m.

Exercício 4

Janaína cortou uma cartolina retangular de 16 cm de comprimento e 6 cm de largura em quatro triângulos retângulos iguais, conforme mostra a figura.

Desafio

A) Qual é a área de cada um desses triângulos?

Desafio
  • Como os 4 triângulos são iguais
  • basta calcular a área da folha de cartolina e dividir por 4.
  • Portanto, qualquer um desses triângulos tem área igual a cm².
$$A_{\text{tri}} = \dfrac{A_{\text{quad}}}{4} = \dfrac{16\times 6}{4} = 24 cm^2$$

B) Em seguida, Janaína usou os quatro triângulos para montar um quadrado com um buraco no seu interior, conforme mostrado na figura. Qual é a área do buraco?

Desafio
  • O buraco no centro do quadrado tem lado cuja medida é igual à diferença entre as medidas dos dois catetos dos triângulos
  • lado do quadrado $=8 - 6 = 2$ cm.
  • Logo, a área do buraco é $A_{\text{quad}} = 2 \times 2 = 4 cm^2$.

C) Quanto mede o lado do quadrado que Janaina montou?

Desafio
  • A área do quadrado que Janaína montou é igual à soma das áreas dos 4 triângulos, mais a área do buraco.
  • Logo, a área desse quadrado é igual a
$$ \begin{aligned} A_{\text{total} } &= \underbrace{ A_{\text{cartolina} } }_{ \text{item a} } + \underbrace{ A_{\text{buraco} } }_{ \text{item b} }\\ &= 96 + 4=\\ &= 100 cm^2\\ &= \underbrace{10}_{\text{lado}} \times 10 cm^2\\ \end{aligned} $$

Portanto o lado do quadrado é $10 cm$.

Exercício 5

Marco preenche quadriculados 3 × 3 com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sem repetir nenhum deles.

Desafio

A) Marco preencheu um quadriculado de forma que os quatro números escritos no quadrado 2 × 2 destacado têm a menor soma possível. Qual é a soma dos cinco números escritos fora desse quadrado?

Desafio
  • Ao escoher quatro números dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
  • a menor soma possível que podemos obter ocorre quando esses números são os menores possíveis
  • soma menor $=1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
  • Fora desse quadrado, ele escreveu os números 5, 6, 7, 8 e 9, cuja
  • soma fora $=5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.$

B) Marco conseguiu preencher outro quadriculado de modo que a soma dos números escritos em um dos quadrados 2 × 2 destacados é 21 e, no outro, 26. As duas figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual é o menor número que Marco pode ter escrito na casa central do quadriculado?

Desafio
  • a casa central, comum a esses dois quadrados, em amarelo.
  • as casas de cor cinza, uma no canto superior direito e outra no canto inferior esquerdo, estão fora dos quadrados destacados.
  • a soma dos números que Marco escreveu nos quadrados destacados é igual a 21 + 26 = 47 .

Esta soma é:

$$ \text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 47$$

A soma de todos os números escritos por Marco é

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$$

que é escrito como

$$ \text{cinza}+ \text{cinza}+ {azul} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 45$$

Usamos o método da balança para soma uma peça amarela dos dois lados.

$$ \begin{aligned} 45 + \text{amarelo} &= \underbrace{\text{cinza}+ \text{cinza}}_{\text{menor soma} = 1 +2=3}+ \underbrace{\text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} }_{47} \\ 45 + \text{amarelo} &= 3 + 47 \\ 45 + \text{amarelo} &= 50 \\ \text{amarelo} &= 5 \\ \end{aligned} $$

C) Marco conseguiu preencher um terceiro quadriculado de modo que as somas dos números escritos nos quatro quadrados 2 × 2 destacados são 18, 25, 21 e 24. Além disso, a soma dos números escritos nos quatro cantos do quadriculado 3 × 3 é 16. As quatro figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual foi o número que Marco escreveu na casa central?

Desafio

Ao montarmos as possibilidades com cores temos:

  • as peças vermelhas aparecem 4 vezes
  • as peças azuis aparecem 2 vezes
  • as peças amarelas aparecem 2 vezes
  • a soma dessas peças equivalem a 88
$$4\text{vermelho}+2\text{azul}+1\text{amarelo}= 88$$

Por outro lado, a soma dos possíveis números é 45

$$\text{vermelho}+\text{azul}+\text{amarelo}= 1 + 2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

Ao multiplicarmos por 2

$$2\text{vermelho}+2\text{azul}+2\text{amarelo}= 90$$

Das duas equações podemos subtrair uma da outra

$$ \begin{cases} 2\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 2\text{amarelo} = 90\\ 4\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 1\text{amarelo} = 88 \end{cases} $$

Obtemos

$$1\text{amarelo}- 2\text{vermelho}= 2$$

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

Do enunciado temos que a soma dos cantos (peça amarela) é igual a 16. Disto, obtemos:

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$16= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$2\text{vermelho} = 14$$

$$\text{vermelho} = \dfrac{14}{2} = 7$$

Portanto, a peça vermelha vale 7.