Há números que parecem primos e não são. O $629$, por exemplo, não é par, não termina em 5 e não é múltiplo de 3. Mas $629=5^4+4$, e essa forma o entrega: ele se fatora por uma identidade que leva o nome de Sophie Germain.

A identidade

Para quaisquer números $a$ e $b$,

$$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$

O truque para descobri-la é completar o quadrado, como na fórmula de Bhaskara. A soma $a^4+4b^4$ é quase o quadrado de $a^2+2b^2$; falta só o termo do meio, $4a^2b^2$. Somando e subtraindo esse termo,

$$\begin{aligned}a^4+4b^4&=\left(a^4+4a^2b^2+4b^4\right)-4a^2b^2\\&=\left(a^2+2b^2\right)^2-(2ab)^2.\end{aligned}$$

Agora é uma diferença de dois quadrados, e $u^2-v^2=(u+v)(u-v)$ termina o trabalho.

No exemplo, com $a=5$ e $b=1$:

$$5^4+4=(25+2+10)(25+2-10)=37\cdot17=629.$$

O que parecia primo

A identidade mostra de uma vez que muitos números de aparência inocente são compostos. Por exemplo, $n^4+4$ é sempre composto quando $n>1$: basta tomar $a=n$ e $b=1$, e os dois fatores, $n^2+2n+2$ e $n^2-2n+2$, são maiores que 1. Só $n=1$ escapa, porque aí o segundo fator vale $1$ e $1^4+4=5$ é primo.

Um exemplo mais surpreendente vem das potências de 2. O número $2^{10}+1=1025$ pode ser escrito como $1+4\cdot4^4$, com $a=1$ e $b=4$:

$$2^{10}+1=(1+32+8)(1+32-8)=41\cdot25.$$

Esse tipo de fatoração, para números $2^{4k+2}+1$, foi usado no século XIX para quebrar números enormes. Em 1869, o francês Fortuné Landry fatorou à mão o número $2^{58}+1$, com 18 algarismos; pouco depois, Léon-François-Antoine Aurifeuille mostrou que, com a identidade de Sophie Germain, a primeira separação sai em uma linha.

Exercício: fatore 3⁴ + 4 · 2⁴ = 145

Com $a=3$ e $b=2$: $a^2+2b^2=9+8=17$ e $2ab=12$. Então $145=(17+12)(17-12)=29\cdot5$.

Exercício: mostre que n⁴ + 4ⁿ é composto para todo n ímpar maior que 1

Se $n$ é ímpar, $n=2k+1$, e então $4^n=4\cdot4^{2k}=4\cdot\left(2^k\right)^4$. Com $a=n$ e $b=2^k$, a identidade dá

$$\begin{aligned}n^4+4^n={}&\left(n^2+2^{2k+1}+n\,2^{k+1}\right)\\&\times\left(n^2+2^{2k+1}-n\,2^{k+1}\right).\end{aligned}$$

O segundo fator é $(n-2^k)^2+2^{2k}$, que é maior que 1 quando $n>1$. Então o número é composto. Com $n=545$, isso responde à pergunta da olimpíada. (Se $n$ é par, $n^4+4^n$ é par e maior que 2, então também é composto.)

Fontes: biografia de Sophie Germain, MacTutor · Leonard E. Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. 1 (1919), capítulo sobre a fatoração de $a^n\pm b^n$.

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