A expressão

$$\int_0^2 x^2\,dx$$

tem cinco peças: o sinal $\int$, os números $0$ e $2$, a função $x^2$ e o $dx$. Cada uma faz um trabalho diferente, e cada uma veio de um lugar. O capítulo 1 contou a passagem da exaustão de Arquimedes à integral. Aqui, a integral é lida devagar, como se lê uma frase numa língua nova.

Uma frase em cinco peças

  1. O $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Leibniz o escreveu pela primeira vez num manuscrito de 29 de outubro de 1675. É um signo icônico de um jeito curioso: não se parece com uma área, mas com a palavra que descreve como a área é feita.
  2. Os limites $0$ e $2$, embaixo e em cima, dizem de onde até onde se soma. Não são de Leibniz: foi o francês Joseph Fourier quem, por volta de 1820, passou a escrevê-los colados ao sinal. Antes, eles vinham escritos em palavras, ao lado.
  3. A função $x^2$ é a altura de cada faixa.
  4. O $dx$ é a largura de cada faixa, infinitamente fina. E é também a marca de qual letra varia: se estivesse escrito $dt$, a variável seria $t$.
  5. A letra $x$ é uma letra muda: $\int_0^2x^2\,dx$ e $\int_0^2t^2\,dt$ valem o mesmo. O resultado, $\frac83$, não depende de $x$.

Lida inteira, a frase diz: some as alturas $x^2$ vezes as larguras $dx$, para todos os $x$ de $0$ a $2$.

A soma por trás do sinal

Essa leitura não é metáfora. Troque a largura infinitamente fina $dx$ por uma largura de verdade $\Delta x$, e o $\int$ pelo $\Sigma$ grego, de soma. A integral vira uma soma de retângulos, a soma de Riemann:

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x\;\longrightarrow\;\int_a^b f(x)\,dx.$$

A notação faz aqui o mesmo que no texto 2: a forma se mantém na passagem ao limite. $\Sigma$ vira $\int$, $\Delta x$ vira $dx$, $f(x_i)$ vira $f(x)$. Quem entende a soma finita lê a integral sem esforço.

O dx esquecido

Muitos alunos escrevem $\int x^2$, sem o $dx$, e o professor corrige. Parece capricho, e não é. O $dx$ faz trabalho de verdade numa troca de variável. Calcule

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx.$$

Com $u=x^2$, a diferencial é $du=2x\,dx$. A expressão inteira se transforma, $\cos(x^2)\cdot2x\,dx$ vira $\cos u\,du$, e a integral fica

$$\int\cos u\,du=\operatorname{sen}u+C=\operatorname{sen}(x^2)+C.$$

Quem escreveu $\int 2x\cos(x^2)$, sem $dx$, não tem onde pôr o $du$, e o $2x$ fica sobrando sem motivo. A notação de Leibniz fez o trabalho: o $dx$ sabia virar $du$.

Exercício: uma soma de Riemann à mão

Calcule a soma de Riemann de $x^2$ em $[0,2]$ com $n=4$ faixas, pela esquerda e pela direita.

$\Delta x=0{,}5$. Pela esquerda, as alturas são $f(0)$, $f(0{,}5)$, $f(1)$, $f(1{,}5)$: $(0+0{,}25+1+2{,}25)\cdot0{,}5=1{,}75$. Pela direita, $f(0{,}5)$ a $f(2)$: $(0{,}25+1+2{,}25+4)\cdot0{,}5=3{,}75$. A área verdadeira, $\frac83\approx2{,}667$, fica entre as duas, como deve ser para uma função crescente.

Exercício: deixe o dx trabalhar

Calcule $\int 3x^2(x^3+1)^4\,dx$.

Com $u=x^3+1$, $du=3x^2\,dx$. A integral vira $\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C=\frac{(x^3+1)^5}{5}+C$. Conferindo: a derivada de $\frac{(x^3+1)^5}{5}$ é $(x^3+1)^4\cdot3x^2$, pela regra da cadeia.

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