Pinte um ponto no pneu de uma bicicleta e empurre-a em linha reta. O ponto sobe, faz um arco e desce de novo até tocar o chão, uma vez a cada volta da roda. A curva que ele desenha se chama cicloide.

No século XVII, ela era a curva da moda. Os franceses a chamavam de roulette. Tantos matemáticos brigaram pelas descobertas sobre ela que ganhou um apelido: a Helena dos geômetras, por causa da Helena de Troia, que provocou uma guerra.

A equação da roda

Uma roda de raio $r$ rola sem escorregar sobre uma reta. Quando ela gira um ângulo $t$, medido em radianos, o centro avança a distância $rt$, que é o comprimento de borda que tocou o chão. O ponto pintado, que começou embaixo, está em

$$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$

De $t=0$ a $t=2\pi$, a roda dá uma volta completa. O arco tem largura $2\pi r$, igual ao contorno da roda, e altura máxima $2r$, o diâmetro.

Um arco de cicloide, gerado por uma roda de raio 1. A área sob o arco é 3π, três vezes a área da roda.
Um arco de cicloide, gerado por uma roda de raio 1. A área sob o arco é 3π, três vezes a área da roda.Ilustração original do blog.

Galileu pesa a curva

Galileu deu o nome à curva por volta de 1599 e quis saber a área sob um arco. Sem conseguir calcular, recortou a cicloide e o círculo gerador em placas do mesmo material e pesou as duas. A cicloide pesava quase três vezes mais que o círculo. Galileu desconfiou que a razão não fosse exatamente 3 e desistiu.

Era exatamente 3. Gilles de Roberval provou isso em 1634, e hoje a conta cabe em poucas linhas.

A área, com cálculo

A área sob a curva é a soma de faixinhas de altura $y$ e largura $dx$. Como $dx=r(1-\cos t)\,dt$,

$$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$

Expandindo o quadrado, ficam três parcelas:

$$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$

A última sai de $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$. Somando,

$$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$

A área sob um arco de cicloide é três vezes a área da roda que a desenhou. As placas de Galileu estavam certas.

A noite de 1658

Em 1658, Pascal já tinha abandonado a matemática havia quatro anos. Segundo a irmã Gilberte, uma noite ele não conseguia dormir por causa de uma dor de dente forte. Para esquecer a dor, começou a pensar na cicloide. A dor passou. Pascal entendeu aquilo como permissão para continuar e, em oito dias, resolveu problemas que ninguém tinha resolvido: as áreas de pedaços da curva, os seus centros de gravidade e os volumes dos sólidos que ela gera ao girar em torno de um eixo.

Então lançou um desafio público a toda a Europa, assinado com um pseudônimo, Amos Dettonville. Ofereceu 40 pistolas de ouro ao primeiro colocado e 20 ao segundo, com prazo até 1º de outubro de 1658.

Dois matemáticos mandaram soluções: o inglês John Wallis e o jesuíta Antoine de Lalouvère. O júri achou erros nas duas, e ninguém levou o prêmio. Pascal publicou os próprios resultados nas Cartas de A. Dettonville. Uma delas, sobre os senos de um quarto de círculo, foi lida anos depois por um jovem Leibniz, que disse ter visto ali uma luz que o levou ao cálculo.

A curva mais rápida

A cicloide ainda guardava surpresas. Em 1659, Christiaan Huygens descobriu que uma bolinha que desliza dentro de uma cicloide virada para cima leva o mesmo tempo para chegar ao fundo, de qualquer altura que parta. Usou isso para construir relógios de pêndulo mais precisos. Em 1696, Johann Bernoulli provou que ela também é a curva de descida mais rápida entre dois pontos: mais rápida até que a reta.

Exercício: qual é a área sob um arco gerado por uma roda de raio 2?

$A=3\pi\cdot2^2=12\pi\approx37{,}7$. Dobrar o raio multiplica a área por quatro.

Exercício: mostre que o comprimento de um arco de cicloide é 8r

O comprimento é $\int_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$. Como $x'=r(1-\cos t)$ e $y'=r\sin t$, a raiz vale $r\sqrt{2-2\cos t}=2r\sin\frac t2$. Então o comprimento é $\int_0^{2\pi}2r\sin\frac t2\,dt=2r\Big[-2\cos\frac t2\Big]_0^{2\pi}=8r$. Quem achou esse resultado, em 1658, foi o inglês Christopher Wren, o arquiteto da catedral de São Paulo, em Londres.

Fontes: biografia de Pascal, MacTutor · Gilberte Périer, Vida de Pascal, na Wikisource.

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