Filtrar uma família

Para resolver $\sin x=1/2$ em $[0,4\pi)$, primeiro obtenha as famílias $x=\pi/6+2k\pi$ e $x=5\pi/6+2k\pi$. Depois imponha os limites do intervalo. As soluções são:

$$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$

O sinal de inclusão das extremidades importa. Depois de elevar ao quadrado ou multiplicar por uma expressão variável, substitua as respostas na equação inicial.

Uma combinação de seno e cosseno

Para resolver $a\sin x+b\cos x=c$, com $(a,b)\ne(0,0)$, defina $R=\sqrt{a^2+b^2}$ e escolha $\varphi$ com:

$$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$

Isso é possível porque os quadrados desses dois números somam 1. Pela fórmula da adição:

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$

A equação tem solução real exatamente quando $|c|\le R$. Por exemplo, $\sin x+\cos x=1$ equivale a $\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2$. Resulta $x=2k\pi$ ou $x=\pi/2+2k\pi$.

Somas que se tornam produtos

Uma soma de senos ou cossenos pode ser transformada em produto. Em $\sin3x+\sin x=0$, obtemos $2\sin2x\cos x=0$. Resolva cada fator zero e reúna as famílias, retirando repetições. Não divida por um fator que pode ser zero.

Quartas potências

Elevar $\sin^2x+\cos^2x=1$ ao quadrado fornece:

$$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x =1-\frac12\sin^22x.$$

Logo, $\sin^4x+\cos^4x=A$ equivale a $\sin^22x=2(1-A)$. Só há solução se $1/2\le A\le1$. Extraia as duas possibilidades de sinal do seno e resolva.

Sextas potências

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$ com $u=\sin^2x$ e $v=\cos^2x$. Como $u+v=1$:

$$\sin^6x+\cos^6x=1-\frac34\sin^22x.$$

A equação com segundo membro $A$ tem solução se, e somente se, $1/4\le A\le1$.

No dia a dia

  • Mola. A posição de uma massa numa mola, $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t$, vira uma única senoide de amplitude $\sqrt{a^2 + b^2}$.
  • Ondas que se somam. Dois sons de mesma frequência defasados somam-se numa só onda; a amplitude depende da defasagem.
  • Respostas no intervalo. Em problemas físicos só servem as soluções num certo intervalo, como ângulos de lançamento entre $0^\circ$ e $90^\circ$.
$a\operatorname{sen}t + b\cos t$ numa mola: uma única oscilação de amplitude $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Exercícios com resolução

1. Resolva o exercício C.243 da referência: $\sin^4x+\cos^4x=3/4$.

Conferir resolução 1

A identidade fornece $\sin^22x=1/2$, então $2x=\pi/4+k\pi/2$. Logo $x=\pi/8+k\pi/4$, $k\in\mathbb Z$.

2. Resolva o exercício C.244 da referência: $\sin^6x+\cos^6x=7/16$.

Conferir resolução 2

$1-\frac34\sin^22x=7/16$ dá $\sin^22x=3/4$. Assim, $2x=\pm\pi/3+k\pi$, ou $x=\pm\pi/6+k\pi/2$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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