Fonte: FUVEST – prova de Conhecimentos Gerais, versão V1 e gabarito oficial da 1ª fase (17/11/2024), disponíveis no acervo da FUVEST 2025.

A 1ª fase da FUVEST 2025 foi uma prova de Conhecimentos Gerais com 90 questões de todas as disciplinas. Este post traz só as questões de matemática. A numeração usada aqui é a da Prova V1; nas versões V2, V3 e V4 as mesmas questões aparecem com outros números.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
16 Porcentagem: inclinação de rampas C
17 Distância entre pontos no plano C
45 Média aritmética E
48 Leitura de gráficos e porcentagem D
52 Função cosseno: transformação do gráfico D
69 Função modular e parábolas B
70 Progressão aritmética A
75 Volume de tronco de cone A
76 Volume e área lateral de cilindros D
77 Posição relativa de circunferências E

Questão 16: Inclinação de uma rampa acessível (porcentagem)

Enunciado

A construção de uma rampa que seja acessível a usuários de cadeira de rodas deve seguir a norma ABNT NBR 9050. Esse documento regulamenta a inclinação que a rampa deve ter a depender do desnível máximo de cada segmento de rampa, conforme o seguinte quadro:

Inclinação e desnível máximo de cada segmento de rampa

Desnível $h$ (em m) Inclinação $i$ admissível (em %)
$1 < h \le 1{,}5$ $5$
$0{,}8 < h \le 1$ $5 < i \le 6{,}25$
$0 < h \le 0{,}8$ $6{,}25 < i \le 8{,}33$

Acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. Disponível em https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/ (Adaptado).

A inclinação $i$ da rampa em porcentagem (%) é calculada dividindo a altura $h$ do desnível do segmento da rampa, em metros, pelo comprimento da projeção horizontal $c$, em metros, e multiplicando o resultado por 100. A figura a seguir mostra uma rampa de dois segmentos.

Determinada rampa de dois segmentos foi construída da seguinte maneira:

  • o primeiro segmento possui projeção horizontal de 10 m e inclinação de 6%;
  • o segundo segmento possui projeção horizontal de 7 m e desnível de 0,5 m.

Com base no que foi apresentado sobre a normativa, o que é correto afirmar sobre a adequação dessa rampa à norma de acessibilidade?

  • A) A rampa não está adequada, pois os dois segmentos não estão de acordo com a norma.
  • B) A rampa está adequada, pois os dois segmentos estão de acordo com a norma.
  • C) A rampa não está adequada, pois o primeiro segmento não está de acordo com a norma.
  • D) A rampa não está adequada, pois o segundo segmento não está de acordo com a norma.
  • E) A rampa está adequada, pois, apesar de o segundo segmento não estar de acordo com a norma, o primeiro está.

Resolução

A fórmula dada é

$$i = \frac{h}{c} \cdot 100$$

e o quadro associa cada faixa de desnível $h$ a uma faixa de inclinação $i$. Para cada segmento, precisamos descobrir o desnível, ver em que linha do quadro ele cai e conferir se a inclinação está na faixa daquela linha.

1. Primeiro segmento. Conhecemos $c = 10$ m e $i = 6$. O desnível sai da fórmula:

$$6 = \frac{h}{10} \cdot 100 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{6 \cdot 10}{100} = 0{,}6 \text{ m}$$

Como $0 < 0{,}6 \le 0{,}8$, vale a última linha do quadro: a inclinação deveria satisfazer $6{,}25 < i \le 8{,}33$. Mas $i = 6$ não está nessa faixa ($6 < 6{,}25$). O primeiro segmento não está de acordo com o quadro.

2. Segundo segmento. Conhecemos $c = 7$ m e $h = 0{,}5$ m:

$$i = \frac{0{,}5}{7} \cdot 100 = \frac{50}{7} \approx 7{,}14$$

Como $h = 0{,}5$ também está na faixa $0 < h \le 0{,}8$, a inclinação deve satisfazer $6{,}25 < i \le 8{,}33$. E $7{,}14$ está nessa faixa: o segundo segmento está de acordo.

3. Conclusão. A rampa não está adequada por causa do primeiro segmento.

Resposta: alternativa C.

Cuidado com a pegadinha: a tentação é pensar “6% é menos inclinado que 8,33%, então está ótimo” e marcar B. A questão pede para usar o quadro como foi dado, e nele cada faixa de desnível tem a sua faixa de inclinação; 6% fica fora da faixa correspondente a 0,6 m. O gabarito oficial é C.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 17: Travessia na Rua da Consolação (distância entre pontos)

Enunciado

A imagem a seguir mostra um cruzamento da Rua da Consolação, na região central da cidade de São Paulo, em que há faixas de pedestre em diferentes direções. Essas faixas agilizam a travessia das ruas. Uma pessoa parte do ponto O e deseja chegar ao ponto C. Para tanto, percorre o trajeto pela faixa que liga O a B e, em seguida, utiliza a faixa que liga B a C. Considere que as coordenadas dos pontos indicados na figura, em metros, são: O(0,0), B(13,-15) e C(29,-8).

Seja $d$ a distância, em metros, que essa pessoa deixaria de percorrer se tivesse optado por fazer a travessia pela faixa de pedestre que liga O a C. Nesse contexto, é correto afirmar:

  • A) $d < 2$
  • B) $2 \le d < 5$
  • C) $5 \le d \le 8$
  • D) $8 < d \le 11$
  • E) $11 < d$

Resolução

A distância entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada pelo teorema de Pitágoras:

$$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

1. Caminho O → B:

$$OB = \sqrt{13^2 + (-15)^2} = \sqrt{169 + 225} = \sqrt{394} \approx 19{,}85$$

2. Caminho B → C:

$$BC = \sqrt{(29 - 13)^2 + (-8 + 15)^2} = \sqrt{16^2 + 7^2} = \sqrt{256 + 49} = \sqrt{305} \approx 17{,}46$$

3. Caminho direto O → C:

$$OC = \sqrt{29^2 + (-8)^2} = \sqrt{841 + 64} = \sqrt{905} \approx 30{,}08$$

4. Diferença. A distância que a pessoa deixaria de percorrer é

$$d = OB + BC - OC \approx 19{,}85 + 17{,}46 - 30{,}08 \approx 7{,}23$$

Sem calculadora, basta estimar as raízes: $19^2 = 361 < 394 < 400 = 20^2$, $17^2 = 289 < 305 < 324 = 18^2$ e $30^2 = 900 < 905$. Os valores ficam perto de $19{,}8$, $17{,}5$ e $30{,}1$, e $d$ fica em torno de 7.

Resposta: alternativa C ($5 \le d \le 8$).

Para revisar, veja Teorema de Pitágoras.

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Questão 45: Expectativa de vida de homens e mulheres (média aritmética)

Enunciado

Considere que a expectativa de vida no Brasil à idade de 19 anos pode ser calculada, de forma aproximada, como a média aritmética simples entre a expectativa de vida estimada à mesma idade dos homens e das mulheres. O mesmo pode ser feito à idade de 20 anos.

Segundo dados do IBGE, em 2022, a expectativa de vida estimada no Brasil à idade de 19 anos era 58, e a expectativa de vida estimada dos homens à mesma idade era 54,7.

Sabe-se que a diferença entre a expectativa de vida estimada dos homens e a das mulheres se manteve à idade de 20 anos e que a expectativa de vida estimada dos homens a essa idade (EVH20) era 53,8.

Com base nos dados apresentados, assinale a alternativa que apresenta a expectativa de vida estimada das mulheres à idade de 19 anos (EVM19) e a expectativa de vida estimada à idade de 20 anos no Brasil (EVB20) em 2022.

EVM19 EVB20
A) 54,7 54,7
B) 54,7 58
C) 60 54
D) 61,3 56
E) 61,3 57,1

Resolução

1. Expectativa das mulheres aos 19 anos. A expectativa do Brasil é a média entre homens e mulheres:

$$58 = \frac{54{,}7 + M_{19}}{2} \quad\Rightarrow\quad M_{19} = 116 - 54{,}7 = 61{,}3$$

2. Diferença entre mulheres e homens. Aos 19 anos:

$$61{,}3 - 54{,}7 = 6{,}6$$

O enunciado diz que essa diferença se mantém aos 20 anos.

3. Expectativa das mulheres aos 20 anos.

$$M_{20} = 53{,}8 + 6{,}6 = 60{,}4$$

4. Expectativa do Brasil aos 20 anos. De novo a média:

$$\text{EVB}_{20} = \frac{53{,}8 + 60{,}4}{2} = \frac{114{,}2}{2} = 57{,}1$$

(Outro jeito: como a diferença é a mesma, a média fica sempre $6{,}6 / 2 = 3{,}3$ acima da expectativa dos homens: $53{,}8 + 3{,}3 = 57{,}1$.)

Resposta: alternativa E (61,3 e 57,1).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D tem o valor certo de EVM19 (61,3), mas um EVB20 errado. Não basta acertar a primeira parte.

Para revisar, veja Medidas de Posição.

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Questão 48: Abate de bovinos (leitura de gráficos e porcentagem)

Enunciado

Os gráficos a seguir apresentam a evolução do abate de bovinos e da participação de machos e fêmeas, por trimestre (indicado por algarismo romano), segundo informações obtidas pelo IBGE.

IBGE: Diretoria de Pesquisas. Coordenação de Estatísticas Agropecuárias. Pesquisa Trimestral do Abate de Animais 2019-2024 (Adaptado).

A partir dos dados observados nos gráficos, é correto afirmar:

  • A) No primeiro trimestre de 2023, a diferença entre as quantidades de machos e fêmeas abatidos foi menor que a do primeiro trimestre de 2019.
  • B) No primeiro trimestre de 2023, a quantidade de fêmeas abatidas foi de, aproximadamente, 2 milhões.
  • C) No primeiro trimestre de 2021 e de 2022, a diferença entre as quantidades de machos e fêmeas abatidos foi igual.
  • D) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas abatidas foi de, aproximadamente, 4,3 milhões.
  • E) No primeiro trimestre de 2024, a quantidade de fêmeas abatidas foi igual à do primeiro trimestre de 2019.

Resolução

O primeiro gráfico dá o total de animais abatidos (em milhões) e o segundo dá a porcentagem de machos e de fêmeas. A quantidade de fêmeas, por exemplo, é porcentagem de fêmeas × total. Todas as alternativas falam do 1º trimestre, e os valores desses trimestres estão escritos nos gráficos:

1º trimestre Total (milhões) Machos Fêmeas
2019 7,93 53,4% 46,6%
2021 6,60 63,2% 36,8%
2022 7,01 60,5% 39,5%
2023 7,44 55,2% 44,8%
2024 9,30 53,8% 46,2%

1. Alternativa A. Diferença machos − fêmeas:

  • 2019: $7{,}93 \cdot (0{,}534 - 0{,}466) = 7{,}93 \cdot 0{,}068 \approx 0{,}54$ milhão;
  • 2023: $7{,}44 \cdot (0{,}552 - 0{,}448) = 7{,}44 \cdot 0{,}104 \approx 0{,}77$ milhão.

Em 2023 a diferença foi maior. A é falsa.

2. Alternativa B. Fêmeas em 2023: $7{,}44 \cdot 0{,}448 \approx 3{,}33$ milhões, não 2 milhões. B é falsa.

3. Alternativa C. Diferença machos − fêmeas:

  • 2021: $6{,}60 \cdot (0{,}632 - 0{,}368) = 6{,}60 \cdot 0{,}264 \approx 1{,}74$ milhão;
  • 2022: $7{,}01 \cdot (0{,}605 - 0{,}395) = 7{,}01 \cdot 0{,}210 \approx 1{,}47$ milhão.

Não são iguais. C é falsa.

4. Alternativa D. Fêmeas em 2024:

$$9{,}30 \cdot 0{,}462 \approx 4{,}30 \text{ milhões}$$

D é verdadeira.

5. Alternativa E. Fêmeas em 2019: $7{,}93 \cdot 0{,}466 \approx 3{,}70$ milhões, bem menos que os 4,30 milhões de 2024. E é falsa.

Resposta: alternativa D (cerca de 4,3 milhões de fêmeas).

Cuidado com a pegadinha: as porcentagens de fêmeas em 2019 (46,6%) e em 2024 (46,2%) são quase iguais, o que leva à alternativa E. Mas o total de animais abatidos mudou muito (de 7,93 para 9,30 milhões), então as quantidades de fêmeas são bem diferentes.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 52: Onda AM e a função cosseno

Enunciado

As enchentes ocorridas no Rio Grande do Sul, em maio de 2024, prejudicaram a infraestrutura de comunicação. A população afetada era informada sobre as notícias relativas às enchentes ao sintonizar, por rádio de pilhas, frequências de onda AM, cujo alcance é maior.

Uma onda AM é modelada matematicamente por equações que envolvem a função cosseno, cuja variável independente é o tempo $t$, que aparece multiplicado pela frequência $f$ da onda.

Como exemplo, pode-se considerar a equação referente ao processo de modulação de uma onda AM:

$$s(t) = A\left[1 + k \thinspace m(t)\right]\cos(2\pi f t),$$

em que $A$ é a amplitude, $f$ a frequência, $k$ a constante da sensibilidade à amplitude e $m(t)$ o sinal que contém a informação.

Quando a frequência $f$ é multiplicada por 3, o comprimento da onda sofre alteração. Por causa dessa multiplicação, qual transformação ocorre no gráfico da função cosseno original?

  • A) Expansão vertical.
  • B) Translação horizontal.
  • C) Expansão horizontal.
  • D) Contração horizontal.
  • E) Contração vertical.

Resolução

1. O que muda. Multiplicar $f$ por 3 troca $\cos(2\pi f t)$ por

$$\cos(2\pi \cdot 3f \cdot t) = \cos\big(3 \cdot (2\pi f t)\big)$$

Ou seja, o argumento do cosseno fica multiplicado por 3. A amplitude $A$ não muda, então não há expansão nem contração vertical.

2. O efeito no período. O período do cosseno $\cos(2\pi f t)$ é $T = \dfrac{1}{f}$. Com frequência $3f$, o novo período é

$$T' = \frac{1}{3f} = \frac{T}{3}$$

Cada ciclo completo passa a ocupar um terço do espaço no eixo horizontal (o eixo do tempo). O gráfico fica “espremido” na horizontal.

3. Regra geral. Trocar $g(t)$ por $g(3t)$ comprime o gráfico horizontalmente por um fator 3: o valor que antes aparecia em $t$ agora aparece em $t/3$.

Resposta: alternativa D (contração horizontal).

Cuidado com a pegadinha: o fator 3 multiplica a variável, e isso encolhe o gráfico na horizontal, embora a intuição de “multiplicar por 3” sugira expansão (alternativa C). Não há translação (B): nada é somado a $t$.

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Questão 69: Gráfico de uma função com módulo

Enunciado

No plano cartesiano $Oxy$, o gráfico que melhor representa a função $f(x) = |x^2 + 5x - 6| - 5x + 6$ é dado por

Resolução

Para tirar o módulo, precisamos saber onde $x^2 + 5x - 6$ é positivo e onde é negativo.

1. Raízes de dentro do módulo.

$$x^2 + 5x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x + 6)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -6 \text{ ou } x = 1$$

A parábola $x^2 + 5x - 6$ tem concavidade para cima, então é não negativa para $x \le -6$ ou $x \ge 1$, e negativa para $-6 < x < 1$.

2. Para $x \le -6$ ou $x \ge 1$ o módulo não muda nada:

$$f(x) = x^2 + 5x - 6 - 5x + 6 = x^2$$

3. Para $-6 < x < 1$ o módulo troca o sinal:

$$f(x) = -(x^2 + 5x - 6) - 5x + 6 = -x^2 - 10x + 12$$

É uma parábola com concavidade para baixo e vértice em $x_v = -\dfrac{-10}{2 \cdot (-1)} = -5$, com $f(-5) = -25 + 50 + 12 = 37$.

4. Pontos de emenda. $f(-6) = 36$ e $f(1) = 1$ (as duas fórmulas dão o mesmo valor, então o gráfico é contínuo).

5. Montando o gráfico.

  • à esquerda de $-6$: parte da parábola $y = x^2$, subindo muito ($f(-7) = 49$);
  • entre $-6$ e $-5$: sobe de 36 até o máximo local 37;
  • entre $-5$ e $1$: desce de 37 até 1, passando por $f(0) = 12$;
  • à direita de $1$: parábola $y = x^2$, subindo de novo.

O gráfico fica sempre acima do eixo $x$, tem um pequeno “bico” perto de $x = -6$ (com máximo local em $(-5, 37)$), corta o eixo $y$ em 12 e tem um mínimo em $(1, 1)$. É exatamente o gráfico B.

Resposta: alternativa B.

Cuidado com a pegadinha: o gráfico D é a parábola $y = x^2$ inteira, que é o que se obtém esquecendo o módulo (sem ele, $x^2 + 5x - 6 - 5x + 6 = x^2$ para todo $x$). O gráfico C é o de B refletido no eixo $x$, com valores negativos, o que é impossível aqui, porque $f(x) \ge 0$ nas duas partes.

Para revisar, veja Equação do 2° grau.

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Questão 70: Sequência formada somando os termos de uma PA

Enunciado

Seja $(a_n)$ uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $a_1$ e a razão $r$, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência $(b_n)$, em que o primeiro termo é um número real $b_1$ e com a seguinte lei de formação

$$b_{n+1} = b_n + a_n,$$

sendo $n > 0$ um número natural.

Por exemplo, se $b_1 = 0$ e

$$(a_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots),$$

tem-se

$$(b_n) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots).$$

Com base em tais informações, os valores de $a_1$ e $r$ foram escolhidos de forma que $(b_n)$ também seja uma progressão aritmética de razão $r'$. Nessas condições, é correto afirmar:

  • A) $r' = a_1$
  • B) $r' = 2a_1$
  • C) $r' = r$
  • D) $r' = 2r$
  • E) $r' = b_1 - a_1$

Resolução

1. A diferença entre termos consecutivos de $(b_n)$. Da lei de formação:

$$b_{n+1} - b_n = a_n$$

2. Condição para $(b_n)$ ser PA. Uma sequência é PA de razão $r'$ quando a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, $r'$. Então precisamos de

$$a_n = r' \quad \text{para todo } n$$

Ou seja, $(a_n)$ tem de ser constante: $a_1 = a_2 = a_3 = \ldots$, o que obriga $r = 0$.

3. A razão. Com $r = 0$, todos os termos de $(a_n)$ valem $a_1$, e

$$r' = b_{n+1} - b_n = a_1$$

Conferindo com um exemplo: $a_1 = 2$, $r = 0$ e $b_1 = 5$ dão $(a_n) = (2, 2, 2, \ldots)$ e $(b_n) = (5, 7, 9, 11, \ldots)$, uma PA de razão $2 = a_1$.

Resposta: alternativa A ($r' = a_1$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C ($r' = r$) parece natural, mas como $r$ precisa ser 0, ela diria que $(b_n)$ é constante, o que só acontece se $a_1 = 0$. O exemplo do enunciado mostra que, em geral, $(b_n)$ não é PA (0, 1, 4, 9, … são os quadrados perfeitos).

Para revisar, veja Progressão Aritmética.

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Questão 75: Capacidade de um vaso (tronco de cone)

Enunciado

Um designer de produtos deseja fabricar um vaso para flores conforme a figura a seguir.

Sabe-se que a base e o topo do vaso são uma circunferência de raio $R$ que mede 10 cm, a parte central é uma circunferência de raio $r$ de 5 cm e a medida $h$ mede 12 cm. Qual é a capacidade volumétrica desse vaso em cm³?

  • A) $1400\pi$
  • B) $2100\pi$
  • C) $2400\pi$
  • D) $2600\pi$
  • E) $2800\pi$

Resolução

O vaso é formado por dois troncos de cone iguais, unidos pela base menor: cada um tem base maior de raio $R = 10$, base menor de raio $r = 5$ e altura $h = 12$.

1. Volume de um tronco de cone.

$$V_{\text{tronco}} = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{\pi \cdot 12}{3}\left(100 + 50 + 25\right) = 4\pi \cdot 175 = 700\pi$$

2. Conferindo por outro caminho. O tronco é um cone grande menos um cone pequeno. Como o raio cai de 10 para 5 em 12 cm, o cone grande tem altura 24 e o pequeno, 12:

$$\frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot 24 - \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 800\pi - 100\pi = 700\pi$$

3. Volume do vaso. São dois troncos:

$$V = 2 \cdot 700\pi = 1400\pi \text{ cm}^3$$

Resposta: alternativa A ($1400\pi$ cm³).

Cuidado com a pegadinha: tratar cada metade como um cilindro de raio 10 dá $2 \cdot \pi \cdot 100 \cdot 12 = 2400\pi$ (alternativa C), que ignora o estreitamento do vaso no meio.

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Questão 76: Volume e área lateral de cilindros

Enunciado

Considere um cilindro $C$ de altura $h > 0$ e cujo raio das circunferências, do topo e da base, é $r > 0$; um cilindro $C_1$ cujo raio é igual ao de $C$ e altura igual a $\frac{h}{2}$; e um cilindro $C_2$ com altura $h$ e raio igual a $\frac{r}{2}$.

Sendo $V$, $V_1$ e $V_2$ os volumes e $A$, $A_1$ e $A_2$ as áreas laterais dos cilindros $C$, $C_1$ e $C_2$, respectivamente, é correto afirmar:

  • A) $V = V_1 + V_2$ e $A = A_1 + A_2$
  • B) $V = V_1 + V_2$ e $A = A_1 + 2A_2$
  • C) $V = V_1 + 2V_2$ e $A = A_1 + 2A_2$
  • D) $V = V_1 + 2V_2$ e $A = A_1 + A_2$
  • E) $V = 2V_1 + 2V_2$ e $A = 2A_1 + 2A_2$

Resolução

Para um cilindro de raio $\rho$ e altura $H$: volume $\pi \rho^2 H$ e área lateral $2\pi \rho H$.

1. Cilindro $C$ (raio $r$, altura $h$):

$$V = \pi r^2 h, \qquad A = 2\pi r h$$

2. Cilindro $C_1$ (raio $r$, altura $h/2$):

$$V_1 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} = \frac{V}{2}, \qquad A_1 = 2\pi r \cdot \frac{h}{2} = \pi r h = \frac{A}{2}$$

3. Cilindro $C_2$ (raio $r/2$, altura $h$):

$$V_2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 h = \frac{\pi r^2 h}{4} = \frac{V}{4}, \qquad A_2 = 2\pi \cdot \frac{r}{2} \cdot h = \pi r h = \frac{A}{2}$$

4. Testando as relações.

  • Volumes: $V_1 + 2V_2 = \dfrac{V}{2} + \dfrac{2V}{4} = V$. ✔ (E $V_1 + V_2 = \frac{3V}{4} \ne V$.)
  • Áreas: $A_1 + A_2 = \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{2} = A$. ✔ (E $A_1 + 2A_2 = \frac{3A}{2} \ne A$.)

Resposta: alternativa D ($V = V_1 + 2V_2$ e $A = A_1 + A_2$).

Cuidado com a pegadinha: reduzir o raio pela metade divide o volume por 4 (o raio aparece ao quadrado), mas divide a área lateral só por 2. Quem trata os dois do mesmo jeito cai em A ou C.

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Questão 77: Duas circunferências no plano cartesiano

Enunciado

Em relação ao plano cartesiano $Oxy$, é correto afirmar que as equações $x^2 + y^2 - 4x = -3$ e $x^2 + y^2 - 4y = -3$ representam

  • A) duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.
  • B) duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.
  • C) duas circunferências que se interceptam em um único ponto.
  • D) duas circunferências concêntricas e que não se interceptam.
  • E) duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.

Resolução

1. Completando quadrados na primeira equação.

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 = -3 + 4 \quad\Rightarrow\quad (x - 2)^2 + y^2 = 1$$

Circunferência de centro $(2, 0)$ e raio 1.

2. Completando quadrados na segunda equação.

$$x^2 + y^2 - 4y + 4 = -3 + 4 \quad\Rightarrow\quad x^2 + (y - 2)^2 = 1$$

Circunferência de centro $(0, 2)$ e raio 1.

3. Distância entre os centros.

$$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$

4. Posição relativa. A soma dos raios é $1 + 1 = 2$. Como $d \approx 2{,}83 > 2$, as circunferências são exteriores: não se tocam. Os centros são distintos (não são concêntricas).

Conferindo pela álgebra: subtraindo as equações, $-4x + 4y = 0$, ou seja, $y = x$. Substituindo na primeira: $2x^2 - 4x + 3 = 0$, com $\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$. Não há ponto em comum.

Resposta: alternativa E.

Cuidado com a pegadinha: as duas têm o mesmo raio, o que atrai para a alternativa A. Mas raios iguais não garantem interseção: os centros estão longe demais.

Para revisar, veja Circunferências.

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