O triângulo é uma das figuras geométricas mias abordadas no estudo da geometria. A relação dela com as circunferências são fundamentais para entendimento de vários resultados da geometria. Alguns destes resultados são chmados de pontos notáveis do triângulo.

Semelhança de Triângulos

No post de proporções, vimos conceitos de semelhança de triângulos. Aqui vamos mostrar que a semelhança de triângulos pode ser demosntrado por circunferências.

Triângulos internos a circunferência

Lema 1: Sejam AB e CD cordas diferentes de uma circunferência que se intersetam em um ponto P interior à circunferência. Então

$$\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{PD}{PB} $$

Triângulos com duas arestas tangentes

Lema 2: Se os dois lados de um ângulo de vértice P são tangentes a uma circunferência de centro O nos pontos A e B, então $PA = PB.$

Triângulos com uma aresta tangente e outra secante

Lema 3: Sejam P um ponto do exterior de um circunferência C , r uma reta por P secante a C nos pontos B e C e s uma reta tangente a C em A. Então

$$\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PA}{PC}$$

Triângulos com duas arestas secantes

Lema 4: Sejam P um ponto do exterior de um circunferência C , r uma reta por P secante a C nos pontos A e B e s uma reta secante a C nos pontos C e D. Então

$$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$$

Pontos Notáveis em um triângulo

As propriedades dos pontos notáveis dos triângulos estão frequentemente relacionadas à circunferência. Antes de apresentarmos estes pontos vamos definir alguns termos fundamentais para geometria,

Circuncentro

Definição (Mediatriz): É o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos A e B distintos.

Teorema 1: As três mediatrizes dos lados de um triângulo qualquer se encontram em um ponto que é equidistante (mesma distância) de seus vértices, e assim esse ponto é centro de uma circunferência que contém os três vértices.

Definição (Circuncentro): É o ponto de encontro entre suas mediatrizes.

Incentro

Teorema 2: As bissetrizes de um triângulo qualquer se encontram em um ponto de seu interior equidistante dos lados. A circunferência com centro nesse ponto e cujo raio é essa distância comum é tangente aos lados.

Definição (Incentro): É o ponto de encontro entre suas bissetrizes.

Ortocentro

Teorema 3: As alturas (retas) de um triângulo qualquer se encontram em um ponto.

Definição (Ortocentro): É o ponto de encontro das alturas.

Baricentro

Teorema 4: As medianas de um triângulo qualquer se encontram em um ponto cuja distância a um vértice qualquer é igual a 2/3 da medida da mediana correspondente.

Definição (Baricentro): Dado um triângulo, o ponto de encontro de suas medianas é chamado centróide ou baricentro.

Reta de Euler

Teorema 5 (Reta de Euler): Em um triângulo qualquer o circuncentro, o ortocentro e o baricentro são colineares.

Estes são os pontos sobre triângulos e circunferências. Aguardem os próximos posts.