Em 29 de outubro de 1675, Leibniz estava em Paris trabalhando num problema de áreas. Até ali, ele escrevia omn., abreviação do latim omnia, “todos”, para indicar a soma de todas as linhas de uma figura, como fazia o italiano Cavalieri. No meio da página, escreveu:

Será útil escrever ∫ em vez de omn.

— Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675

O símbolo $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Na época, o S comprido era uma letra comum na escrita. Desde então, nunca mais foi substituído.

Somar fatias

A ideia de Leibniz era cortar uma região em fatias verticais finíssimas. Cada fatia é quase um retângulo, com altura $y$ e largura $dx$. Sua área é $y\,dx$. A área total é a soma de todas as fatias:

$$\int y\,dx.$$

O símbolo diz tudo de uma vez: some ($\int$) as alturas ($y$) vezes as larguras minúsculas ($dx$). Os limites da soma vão embaixo e em cima: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ é a soma das fatias de $x=a$ até $x=b$.

Somar diferenças devolve o total

Lembra do problema que Huygens passou para Leibniz, contado na biografia? Ali, uma soma de diferenças se cancelava quase toda:

$$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$

Se você soma todas as pequenas mudanças de uma grandeza, sobra só a mudança total: o valor final menos o inicial. Leibniz percebeu que o mesmo acontece com diferenças infinitamente pequenas. Se $dF=f(x)\,dx$, então

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$

Em outras palavras, $\int$ e $d$ se desfazem um ao outro, como somar e subtrair. Esse é o teorema fundamental do cálculo, escrito do jeito mais curto possível. Newton chegou à mesma conclusão pelo caminho das fluxões.

Exemplo: a área sob uma parábola

Para a área sob $y=x^2$ entre $0$ e $3$, procuramos $F$ com $dF=x^2\,dx$. Como $d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\,dx$:

$$\int_0^3x^2\,dx=\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}=9.$$

Exemplo: distância percorrida

Um carro acelera com velocidade $v(t)=3t^2$ metros por segundo. Em cada pedacinho de tempo $dt$, ele anda $v\,dt$. Entre $t=0$ e $t=2$ segundos, a distância total é

$$\int_0^2 3t^2\,dt=\Big[t^3\Big]_0^2=8\ \text{metros}.$$

As unidades ajudam a conferir: velocidade (m/s) vezes tempo (s) dá metros. A notação de Leibniz carrega as unidades junto, o que é uma das razões de ser tão usada na física e na engenharia.

Um cuidado: se a velocidade mudar de sinal, ou seja, se o carro der ré, a integral dá o deslocamento, que é a posição final menos a inicial. Para a distância total percorrida, integramos o valor absoluto da velocidade.

O triângulo que Pascal não viu

Em 1673, recém-chegado a Paris, Leibniz leu um texto de Blaise Pascal sobre os senos de um quarto de círculo, publicado nas Cartas de A. Dettonville. Pascal desenhava, num ponto do círculo, um triângulo minúsculo, com um lado horizontal, um vertical e o terceiro sobre a curva.

Leibniz percebeu que o triângulo servia para qualquer curva, não só para o círculo. Os lados são $dx$, $dy$ e um pedacinho $ds$ da própria curva. Como o triângulo é retângulo, Pitágoras dá

$$ds^2=dx^2+dy^2.$$

Ele o chamou de triângulo característico e contou depois que foi ali que viu uma luz que o próprio Pascal não tinha visto. Com esse triângulo, Leibniz achava tangentes (a inclinação é $dy/dx$) e também comprimentos de curvas: basta somar os $ds$.

$$L=\int ds=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.$$

Por exemplo, para $y=\frac23x^{3/2}$ entre $x=0$ e $x=3$, temos $\dfrac{dy}{dx}=\sqrt x$, e o comprimento é

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

A notação faz o trabalho: o $ds$ de Leibniz é a hipotenusa, e a integral é a soma de todas elas.

A primeira publicação

Leibniz publicou o símbolo $\int$ em 1686, num artigo da Acta Eruditorum chamado Sobre uma geometria escondida. Ali mostrou como as áreas e as tangentes, dois problemas que pareciam diferentes, eram duas faces da mesma moeda.

Exercício: calcule a integral de 2x + 1 entre 0 e 3

Uma primitiva é $x^2+x$, porque $d(x^2+x)=(2x+1)\,dx$. A integral vale $(9+3)-(0+0)=12$. Como a função é positiva no intervalo, esse número também é a área sob o gráfico.

Exercício: uma torneira despeja 4t litros por minuto. Quanto enche entre t = 0 e t = 5 minutos?

$\displaystyle\int_0^5 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^5=50$ litros.

Fontes: Leibniz, manuscritos e publicações, MacTutor.

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