As medidas de dispersão são fundamentais, pois diferentemente da matemática, a estatística trabalham com variáveis aleatórias. Por exemplo, as grandes mídias trabalhavam com valores determinísticos, como candidato A tem 45% e B com 30%. Para matemática claramente o A está na frente, mas para estatística é não sei. Hoje eles apresentam de forma estatística, pois falam da “margem de erro”. Se a “margem de erro” for de 15%, os dois estão tecnicamente empatados.

Exemplo 1.

Medida de dispersão

Como motivação, considere duas linha de produção de uma peça. A medida média do comprimento da peça é de 100cm e ambas as linhas estão produzindo peças com médias próximas desse valor. Neste caso, consideramos que as peças produzidas por ambas as linhas são adequadas?

Exemplo 1.

Quanto menos dispersão entre as linhas de produção, mais precisa (em termos de posição) e mais confiável é a linha de produção. Mais especificamente, temos mais chances de acertar o alvo.

Exemplo 1.

Definição (Medida de dispersão): são as estatísticas que representam uma série de dados e nos orienta quanto à dispersão (variação, variabilidade) da distribuição dos dados.

As medidas de dispersão mais importantes são:

  • amplitude;
  • variância;
  • desvio-padrão;
  • coeficiente de variação.

Amplitude

A amplitude é a medida de dispersão mais básica e ela é aplicado por boa parte das aplicações por ser simples de calcular. No cotidiano, as plataformas de audio usam muito a amplitude como conceito.

Exemplo 1.

Definição (Amplitude): é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.

$$\\{\text{menor valor}, \dots, \text{maior valor}\\}$$$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$$

A amplitude R dos dados é dada por:

$$R = X_{(n)}−X_{(1)}$$

Observação: A seguir temos algumas notações importantes:

  • Quando um índice está entre parênteses, quer dizer que os números estão ordenados.
    • $X_{(1)}$ é o menor valor
    • $X_{1}$ não necessariamente é o menor valor
  • Do coneito de inequações temos que se $X_{(1)} \leq X_{(2)}$:
    • $X_{(1)}$ é menor ou igual a $X_{(2)}$
    • $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$ estão ordenados do menor para o menor valor.
  • A amplitude é dada pelo símbolo $R$, que vem do inglês Range.

Exemplo (Amplitude) para salto do sapo

Seja a altura do salto do sapo e as medidas são dadas a seguir:

Exemplo 1.
Salto Altura (cm)
1 0
2 3
3 10
4 3
5 0

Desta forma, as alturas máximas de mínimas são dadas a seguir:

  • $\max \\{\text{alturas}\\} = 10\text{ cm}$
  • $\min \\{\text{alturas}\\} = 0\text{ cm}$
  • $\text{Amplitude} = R = \max \\{\text{alturas}\\} - \min \\{\text{alturas}\\} = 10 - 0 = 10\text{ cm}$

Variância

A próxima medida de dispersão descrita é a variância.

Existem dois tipos de variância:

  • Variância populacional: é o cálculo do valor da dispersão para toda informação da população.
  • Variância amostral: é o cálculo do valor da dispersão para toda informação da amostra.
Exemplo 1.

Quando modelamos a população por uma distribuição de probabilidade. O valor da variância populacional é chamada parâmetro.

Definição (Parâmetro): medida descritiva referente a uma população.

Exemplo: média populacional.

Definição (Estimador): medida descritiva referente a uma amostra.

Exemplo: média amostral.

Definição (Estimativa): valor da medida descritiva referente a uma amostra.

Exemplo: variância amostral de 10 medidas é igual e 2. Logo a estimativa da variância amostral é 2.

Variância populacional

A variância populacional é um pouco mais complicada que o cálculo de outras medidas descritivas. Ela é calculada à partir dos desvios da média.

$$d_{i} = \text{desvio} = (\text{medida} - \text{média}) = (X_{i} - \overline{X})$$

Uma propriedade importante é que a soma dos desvios é igual a zero. Suponha que temos 5 medidas.

$$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 0$$

Em uma população de N elementos, a variância populacional é dada por:

$$ \begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{d^2_1+\ldots+d^2_N}{N} \\ \sigma^2 &= \sum^N_{i=1}\dfrac{(X_i-\mu)^2}{N} \\ \end{aligned} $$

em que: ​

  • N: tamanho da população ou números de elementos da população;
  • $\mu$: parâmetro referente a média populacional;
  • $x_1, \dots, x_N$: elementos da população.
  • $d_i = (X_i - \mu)$: é o desvio da medição i, para $i=1,\dots, N$.
  • $\sum^N_{i=1}$: é símbolo de soma, nesta caso a soma vai de $1$ a $N$.
Exemplo 1.

Observação: os parâmetros, geralmente são dadas pelas letras gregas, no caso da variância é dada pela letra grega $\sigma^2$.

Variância amostral

Em uma amostra de n elementos, a variância amostral é dada por:

$$ \begin{aligned} s^2 &= \dfrac{d^2_1+\ldots+d^2_n}{n} \\ s^2 &= \sum^n_{i=1}\dfrac{(X_i-\overline{X})^2}{n-1} \\ \end{aligned} $$

em que: ​

  • n: tamanho da amostra ou números de elementos da amostra;
  • $s^2$: estimador referente a variânica amostral;
  • $x_1, \dots, x_n$: elementos da amostra.
  • $d_i = (X_i - \overline{X})$: é o desvio da medição i, para $i=1,\dots, n$.
  • $\sum^n_{i=1}$: é símbolo de soma, nesta caso a soma vai de $1$ a $n$. ​

Observação: o estimador da variância é dada pela letra $s^2$, pois vem do inglês standard deviation.

Exemplo (Variância) para salto do sapo

Seja a altura do salto do sapo e as medidas são dadas a seguir:

Exemplo 1.
Salto Altura (cm)
1 10
2 11
3 9
4 8
5 10

Desta forma, temos os cálculos a seguir:

  • $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
  • $\text{soma }\text{desvios}^2 = (10-9.6)^2 + (11-9.6)^2 + (9-9.6)^2 + (8-9.6)^2 + (10-9.6)^2 = 5.2$
  • $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}^2$

Desvio-padrão populacional

O desvio-padrão populacional é dada pela raiz quadrada da variância. Desta forma, qual a diferença entre os dois?

É meramente uma aplicação prática, pois se medimos uma peça em unidade de $cm$ a variância estará em $cm^2$ e o desvio-padrão estará em $cm$, que é o que interessa em termos práticos. O estatístico prefere a variância, por simplificação matemática.

Em uma população de N elementos, o desvio-padrão populacional é dado por:

$$ \begin{aligned} \sigma &= \sqrt{ \text{variância} } \\ \sigma &= \sqrt{ \sum^N_{i=1}\dfrac{(X_i-\mu)^2}{N} } \\ \end{aligned} $$

em que: ​

  • N: tamanho da população ou números de elementos da população;
  • $\mu$: parâmetro referente a média populacional;
  • $x_1, \dots, x_N$: elementos da população.
  • $d_i = (X_i - \mu)$: é o desvio da medição i, para $i=1,\dots, N$.
  • $\sum^N_{i=1}$: é símbolo de soma, nesta caso a soma vai de $1$ a $N$.
Exemplo 1.

Observação: os parâmetros, geralmente são dadas pelas letras gregas, no caso do desvio-padrão é dada pela letra grega $\sigma$.

Desvio-padrão amostral

Em uma amostra de n elementos, o desvio-padrão amostral é dado por:

$$ \begin{aligned} s &= \sqrt{\text{variância} } \\ s &= \sqrt{\sum^n_{i=1}\dfrac{(X_i-\overline{X})^2}{n-1} }\\ \end{aligned} $$

em que: ​

  • n: tamanho da amostra ou números de elementos da amostra;
  • $s^2$: estimador referente a variânica amostral;
  • $x_1, \dots, x_n$: elementos da amostra.
  • $d_i = (X_i - \overline{X})$: é o desvio da medição i, para $i=1,\dots, n$.
  • $\sum^n_{i=1}$: é símbolo de soma, nesta caso a soma vai de $1$ a $n$. ​

Exemplo (Desvio-padrão) para salto do sapo

Seja a altura do salto do sapo e as medidas são dadas a seguir:

Exemplo 1.
Salto Altura (cm)
1 10
2 11
3 9
4 8
5 10

Desta forma, temos os cálculos a seguir:

  • $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
  • $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}$
  • $\text{Desvio-padrão} = s = \sqrt{1.3} \approx 1.14 \text{ cm}$
Exemplo 1.

Portanto, o salto do sapo é de $9.6 \text{ cm} \pm 1.14\text{ cm}$

Exemplo (Desvio-padrão) para candidatos a eleição

Seja a pesquisa eleitoral para presidência para o ano de 2022.

Exemplo 1.
Candidato Porcentagem de votos média
A 35 %
B 38 %
C 20 %
D 8 %

A “margem de erro” é de $\pm 5$%. Qual candidato lidera a corrida eleitoral?

Exemplo 1.

Com a “margem de erro” temos os cenários:

Candidato Porcentagem de votos média Limite Inferior Limite Superior
A 35 % 30 % 40 %
B 38 % 33 % 42 %
C 20 % 15 % 25 %
D 8 % 3 % 13 %
Exemplo 1.

Como temos intersecção entre os intervalos de A e B. Portanto, temos eles estão “tecnicamente” ou estatísticamente empatados em primeiro lugar.

Esta é uma pequena introdução às medidas de dispersão, aguardem os próximos posts.