Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos.

— Euclides, Elementos, Proposição II.4

Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

O quadrado da soma

A Proposição II.4, da citação, diz: corte um segmento em duas partes, $a$ e $b$. O quadrado sobre o segmento inteiro, de lado $a+b$, é igual ao quadrado sobre $a$, mais o quadrado sobre $b$, mais dois retângulos de lados $a$ e $b$. Basta olhar a figura do quadrado grande dividido em quatro pedaços. Em notação de hoje:

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$

A fórmula que se decora na escola, Euclides desenhava. E a prova é a figura: os quatro pedaços preenchem o quadrado grande sem sobrar nem faltar nada.

A diferença de quadrados

A Proposição II.5 é a do papiro de Oxirrinco, o fragmento dos Elementos mais antigo que se conhece. Em linguagem de hoje, ela diz que, se um segmento de comprimento $2m$ é cortado no meio e também num ponto qualquer, em partes $m+d$ e $m-d$, então

$$(m+d)(m-d)+d^2=m^2.$$

É a identidade $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$, a diferença de quadrados. Euclides a prova recortando um retângulo e encaixando o pedaço que sobra ao lado de um quadradinho, de modo a formar um quadrado.

Completar o quadrado

Mil anos depois de Euclides, por volta de 820, o matemático Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, originário da região de Khwarazm, na Ásia Central, que trabalhava na Casa da Sabedoria de Bagdá, escreveu um livro sobre como resolver problemas com uma quantidade desconhecida. O título continha a palavra al-jabr, “restauração”, que deu origem à palavra álgebra; o nome do autor deu origem à palavra algoritmo. O antigo curso deste site sobre a fórmula de Bhaskara contava um dos seus exemplos:

Um quadrado e dez raízes dele são iguais a trinta e nove. Quanto vale o quadrado?

Em linguagem de hoje, $x^2+10x=39$. Al-Khwarizmi o resolvia exatamente como Euclides teria feito, com áreas.

A solução geométrica de x² + 10x = 39. O quadrado amarelo, de lado x, e os dois retângulos verdes, de lados x e 5, somam 39. O quadradinho vermelho, de lado 5, completa um quadrado de lado x + 5.
A solução geométrica de x² + 10x = 39. O quadrado amarelo, de lado x, e os dois retângulos verdes, de lados x e 5, somam 39. O quadradinho vermelho, de lado 5, completa um quadrado de lado x + 5.Ilustração de Euler’s Eyes
  1. Desenhe um quadrado de lado $x$: a sua área é $x^2$.
  2. As “dez raízes”, $10x$, são divididas em dois retângulos de lados $x$ e $5$, encostados em dois lados do quadrado. A figura toda, em forma de L, tem área $x^2+10x=39$.
  3. Falta um quadradinho no canto, de lado $5$ e área $25$, para completar um quadrado grande. Acrescente-o: o quadrado grande tem área $39+25=64$.
  4. Um quadrado de área $64$ tem lado $8$. Mas o lado do quadrado grande é $x+5$. Então $x+5=8$, e $x=3$.

Em notação de hoje, foi isso:

$$x^2+10x+25=39+25\quad\Longrightarrow\quad(x+5)^2=64\quad\Longrightarrow\quad x+5=8\quad\Longrightarrow\quad x=3.$$

É o método de completar o quadrado, de onde sai a fórmula que no Brasil se chama de Bhaskara, em homenagem ao matemático indiano do século XII. A geometria tem uma limitação: um lado de quadrado não pode ser negativo, então al-Khwarizmi só via a solução $x=3$. A outra raiz, $x+5=-8$, ou seja, $x=-13$, só seria aceita séculos depois.

A fórmula geral

O mesmo raciocínio funciona para $x^2+px=q$: os retângulos têm lado $\frac p2$, o quadradinho tem área $\frac{p^2}4$, e

$$\left(x+\frac p2\right)^2=q+\frac{p^2}4\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac p2+\sqrt{\frac{p^2}4+q}.$$

Para $ax^2+bx+c=0$, dividindo por $a$ e repetindo a conta, chega-se a

$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}$$
Exercício: resolva x² + 8x = 65 completando o quadrado, como no antigo curso de Bhaskara deste site.

Os dois retângulos têm lados $x$ e $4$; o quadradinho do canto tem área $16$. Então $(x+4)^2=65+16=81$, o lado do quadrado grande é $9$, e $x=9-4=5$. Confira: $25+40=65$.

Exercício: use a diferença de quadrados para calcular 47 × 53 de cabeça.

$47\times53=(50-3)(50+3)=50^2-3^2=2\,500-9=2\,491$. É a Proposição II.5 com $m=50$ e $d=3$.

Fontes: Elementos, Livro II, edição de D. E. Joyce · Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, The Algebra of Mohammed ben Musa, trad. Frederic Rosen (1831) · Victor J. Katz, A History of Mathematics (Pearson, 2009), caps. 3 e 9.

Todos os tópicos de Euclides · ← O teorema de Pitágoras à moda de Euclides · O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum →

Créditos das imagens.