Num vértice de um cubo se encontram três quadrados, e os ângulos deles somam $3 \times 90° = 270°$. Faltam $90°$ para completar uma volta: esse é o defeito do vértice. Por volta de 1630, Descartes descobriu que, num poliedro convexo, a soma dos defeitos de todos os vértices é sempre 720°.

Poliedro Ângulos num vértice Defeito Vértices Soma
Tetraedro 3 × 60° = 180° 180° 4 720°
Cubo 3 × 90° = 270° 90° 8 720°
Octaedro 4 × 60° = 240° 120° 6 720°
Dodecaedro 3 × 108° = 324° 36° 20 720°
Icosaedro 5 × 60° = 300° 60° 12 720°
As faces em volta de um vértice, abertas no plano. A fatia vermelha é o defeito, o ângulo que falta para completar 360°.

O manuscrito ficou perdido por séculos. Só sobreviveu porque Leibniz copiou o texto em 1676, e a cópia só foi encontrada no século XIX. Agora vem a surpresa: desse teorema sai a fórmula $V - A + F = 2$, que vimos no capítulo sobre Euler.

Os ângulos internos de uma face com $n$ lados somam $(n - 2) \cdot 180°$. Somando em todas as faces, e lembrando que cada aresta é lado de duas faces (então a soma dos $n$ de todas as faces é $2A$):

$$\text{soma de todos os ângulos das faces} = (2A - 2F) \cdot 180° = (A - F) \cdot 360°.$$

O defeito total é $360°$ por vértice menos essa soma:

$$720° = 360° \cdot V - 360° \cdot (A - F) = 360° \cdot (V - A + F) \;\Longrightarrow\; V - A + F = 2.$$

Ou seja, Descartes tinha nas mãos, mais de um século antes, um resultado equivalente à fórmula de Euler. Só não escreveu a conta final.

Gire o dodecaedro: 20 vértices com defeito de 36° cada, 20 × 36° = 720°.

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