Nos posts anteriores falamos dos postulados e axiomas, sem uma demonstração formal de resultados. Aqui iniciamos os conceitos de demonstração formal, para isto, apresentamos alguns conceitos fundamentais para o início do tema.

Conceitos

O primeiro conceito muito importante na matemática é a definição.

Definição: é um enunciado que descreve o significado de um termo matemático.

Proposição

Nos posts anteriores definimos este conceito, mas agora, apresentamos de uma forma mais simples:

Proposição: é uma sentença declarativa.

  • Se for simples é aquilo que possui sentido por si só.
  • Se for verdadeira em todas as possibilidades lógicas é dita uma Tautologia.
  • Se for é verdadeira em todas as possibilidades lógicas é dita uma Tautologia.
  • Não existe uma outra possibilidade, além das anteriores.

Argumento

As definições a seguir são igualmente importantes para uma boa construção de resultados.

Argumento: é uma sequência finita $n+1$ proposições:

  • Conjunto de hipóteses: $\mathcal{H} = \\{H_1, H_2, \dots, H_n\\}$
  • Tese: $T$, que é consequência das hipóteses.

Conjectura

Conjectura: é uma proposição que não foi demonstrada até o momento e nem refutada.

Desta forma, a conjectura é uma proposição que não foi demonstrada até o momento, porém, necessita ser demonstrada para tornar um resultado como teorema.

Teoremas

Um conceito muito importante é o de Teorema, que é uma proposição lógica, ou seja, é uma tautologia. Um resultado, em matemática tautologia, que mais importam são os que utilizam conectivos condicional e/ou bicondicional.

Teorema: é uma proposição garantida por uma demonstração.

A demosntração de um resultado é basicamente montar uma redação dissertativa. Para isto trabalhamos com as tabelas-verdade e com isso, mostramos que a proposição é de fato uma tautologia.

No post anterior, vimos que os axiomas e postulados são fatos aceitos sem uma demonstração.

Daqui em diante, para demonstração de um resultado, vamos usar resultados preliminares como:

  • Lemas: é um resultado em que o propósito é ser utilizado para demonstração de um resultado maior.
  • Proposições: é um resultado em que o propósito é ser utilizado para demonstração de um resultado maior.

Como dito, estas tautologias são utilizadas para demonstrar resultados maiores como teoremas e corolários.

Corolário

Corolário: é um teorema que pode ser estabelecido diretamente do teorema provado.

Mais especificamente, quando um teorema ajuda a concluir facilmente outrs afirmações, este resultado são chamados de corolário do teorema.

Implicação e Bi-implicação logicamente

Com conceitos de tautologia, vimos até o momento que ao definirmos $p$ e $q$ proposições e $p \rightarrow q$ uma tautologia, dizemos:

  • $p \rightarrow q$ é uma implicação.
  • $p \Rightarrow q$ é uma implicação lógica.

Da mesma forma, sejam $p$ e $q$ proposições e $p \leftrightarrow q$ uma tautologia, dizemos:

  • $p \leftrightarrow q$ é uma bi-implicação.
  • Esta última significa que $p$ e $q$ são logicamente equivalentes.
  • $p \Leftrightarrow q$ é uma bi-implicação lógica.
  • Esta última significa que $p$ e $q$ são equivalentes.

Logo, com estes conceitos podemos propor o seguinte resultado:

Teorema para implicação lógica

Teorema: Sejam $p, q$ e $r$ proposições. Então:

  • Reflexiva: $p\Rightarrow p$
  • Transitiva: $(p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow r) \Rightarrow (p\rightarrow r)$
  • Simplificação: $p \wedge q \Rightarrow p$
  • Adição: $p \Rightarrow p \vee q $
  • Modus Ponens (em latim significa “a maneira que afirma afirmando”): $(p \wedge (p \rightarrow q)) \Rightarrow q$
  • Modus Tollens (em latim significa “modo que nega por negação”): $(p \rightarrow q)\sim q \Rightarrow \sim p$
  • Reduction ad absurdum (em latim significa “redução ao absurdo”): $(\sim p \rightarrow (q \wedge \sim q)) \Rightarrow p$
  • Simetria: $(p \leftrightarrow q) \Rightarrow (q \leftrightarrow p) $
  • Transitiva: $(p \leftrightarrow q) \wedge (q \leftrightarrow r)\Rightarrow (p \leftrightarrow r) $
  • Disjunção: $(p \leftrightarrow q) \wedge \sim p \Rightarrow q $

Demonstração: Basta aplicarmos a tabela verdade.

Teorema para bi-implicação lógica

Teorema: Sejam $p, q$ e $r$ proposições. Então:

  • Reflexiva: $p\Leftrightarrow p$
  • Dupla negação: $\sim (\sim p)\Leftrightarrow p$
  • Negação da conjunção - Lei de Morgan: $(p \wedge p)\Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$
  • Negação da disjunção - Lei de Morgan $\sim (p \vee p)\Leftrightarrow (\sim p \wedge \sim q)$
  • Negação da condicional $\sim (p\rightarrow q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q)$
  • Negaçãao da bicondicional $\sim (p\leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
  • Comutatividade de $\vee$: $(p\vee q) \Leftrightarrow (q\vee p)$
  • Comutatividade de $\wedge$: $(p\wedge q) \Leftrightarrow (q\wedge p)$
  • Associatividade de $\vee$: $(p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee (q\vee r)$
  • Associatividade de $\wedge$: $(p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge (q\wedge r)$
  • Distributividade: $p \vee (q\wedge r) \Leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)$
  • Distributividade: $p \wedge (q\vee r) \Leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
  • Bicondicional: $(p\leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$
  • Contra positiva $(p\rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim p \rightarrow \sim q)$
  • Idempotências $(p\vee p) \Leftrightarrow p$ e $(p\wedge p) \Leftrightarrow p$
  • Transitividade $(p\Leftrightarrow q)$ e $(q\Leftrightarrow r)$ $\Leftrightarrow (p\Leftrightarrow r)$

Demonstração: Basta aplicarmos a tabela verdade.