O cálculo de Leibniz sabia derivar potências com expoente fixo, como $x^3$ ou $x^{1/2}$: a derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$. Mas, em 1694, numa carta a Leibniz, Johann Bernoulli pôs na mesa um bicho estranho: a expressão

$$y=x^x,$$

em que a base e o expoente variam ao mesmo tempo. A regra de $x^n$ não serve, porque o expoente não é fixo. A regra de $a^x$ também não, porque a base não é fixa. Em 1697, Johann publicou nas Acta Eruditorum os “princípios do cálculo exponencial”, com o método para tratar essas potências, que ele chamava de percorrentes, porque o expoente percorre valores.

O truque do logaritmo

A ideia é transformar a potência num produto, que sabemos derivar. Para $x>0$, aplique o logaritmo natural dos dois lados:

$$\ln y=x\ln x.$$

Agora derive os dois lados em relação a $x$. À esquerda, pela regra da cadeia, aparece $\dfrac{y'}y$. À direita, pela regra do produto, aparece $1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$. Então $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1$, e

$$\boxed{\frac{d}{dx}\,x^x=x^x\,(\ln x+1).}$$

Essa técnica, derivar o logaritmo da função em vez da própria função, ganhou o nome de derivação logarítmica. Funciona para qualquer $y=f(x)^{g(x)}$ com $f>0$:

$$\ln y=g\ln f\quad\Longrightarrow\quad y'=f^{\,g}\left(g'\ln f+g\,\frac{f'}f\right).$$

Os dois termos do parêntese contam as duas mudanças: a do expoente, $g'\ln f$, e a da base, $g\frac{f'}f$. Se a base é fixa, sobra só o primeiro e voltamos a $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$; se o expoente é fixo, sobra o segundo e voltamos a $nx^{n-1}$.

Onde x elevado a x é mínimo

Como $x^x$ é sempre positivo, a derivada tem o sinal de $\ln x+1$. Ela é negativa para $x<\frac1e$ e positiva para $x>\frac1e$. A função desce até $x=\frac1e\approx0{,}368$ e depois sobe. O valor mínimo é

$$\left(\frac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx0{,}692.$$

Ou seja: entre todos os números positivos, nenhum elevado a si mesmo dá menos que $0{,}692$. Por exemplo, $0{,}5^{0{,}5}=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707$ e $0{,}3^{0{,}3}\approx0{,}697$, os dois um pouco acima.

E perto de zero?

O que acontece com $x^x$ quando $x$ se aproxima de zero? A base vai a zero, o que puxa para baixo; o expoente vai a zero, o que puxa para 1. Quem ganha? Escreva $x^x=e^{x\ln x}$ e calcule o expoente com a regra de l’Hôpital:

$$\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.$$

Então $x^x\to e^0=1$. O expoente ganha. Com a calculadora: $0{,}1^{0{,}1}\approx0{,}794$, $0{,}01^{0{,}01}\approx0{,}955$, $0{,}001^{0{,}001}\approx0{,}993$.

Exercício: derive (1 + x) elevado a x, para x > −1.

Com $f=1+x$ e $g=x$, temos $g'=1$ e $f'=1$, então

$$\frac{d}{dx}(1+x)^x=(1+x)^x\left[\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right].$$

Em $x=1$, a função vale $2$ e a derivada vale $2\left(\ln2+\frac12\right)\approx2{,}386$.

Exercício: qual é a inclinação da curva y = x elevado a x no ponto x = 1? E em x = e?

Em $x=1$: $1^1(\ln1+1)=1$. A tangente em $(1,1)$ tem inclinação 1, como a da reta $y=x$. Em $x=e$: $e^e(\ln e+1)=2e^e\approx30{,}3$. A função cresce muito depressa: $e^e\approx15{,}15$, e já em $x=4$ ela vale $4^4=256$.

Fontes: Johann Bernoulli, “Principia calculi exponentialium seu percurrentium”, Acta Eruditorum (1697) · Florian Cajori, “History of the exponential and logarithmic concepts”, The American Mathematical Monthly 20 (1913) · biografia de Johann Bernoulli, MacTutor.

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