Uma viagem que atravessa o zero

Comece em −3 e aplique +5. Depois experimente voltar 4 unidades. Onde cada percurso termina?

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No estudo dos naturais, usamos números para contar, incluindo o zero. Agora vamos ampliar esse conjunto com números negativos e conhecer os inteiros. Os naturais são representados como:

$$\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,4,5,\dots\\}$$

Quantidade e os números naturais

Para falarmos sobre números inteiros, é necessário falarmos sobre números negativos. Quando falamos dos números naturais, a quantidade pode ser representada por estes números:

  • 2 maçãs
  • 5 crianças
  • 3 carros
  • Dentre outros
2 maçãs 5 crianças 3 carros

Esta ideia é intuitiva desde os tempos antes de Cristo, isto é, sempre tivemos a noção de quantidade.

Números Negativos

No cotidiano, também há a necessidade de uma representação de números negativos. A temperatura é um exemplo de número negativo.

Por exemplo, no Japão, Rússia, dentre outros países, no inverno a temperatura pode ser negativa.

Saporo Japão Inverno no Japão
Rio de Moscou Inverno na Rússia

Definição do número inteiro

Como introdução aos números inteiros, necessitamos ter ideia sobre opostos.

Céu e Inferno Claro e Escuro

Estes são exemplos de opostos, mas para qualidades (qualitativo). Para falarmos de opostos, mas com quantidades (quantitativo), é necessário falarmos sobre números inteiros.

Primeiramente,

  • dado um número natural $n,$
  • em que esse número pertence $(\in)$
  • aos conjunto dos números naturais $(\mathbb{N})$.
$$n\in \mathbb{N} = \\{0,1,2,3,4,5,\dots\\}$$

Definimos os números negativos como:

  • $-n = n_\star$
  • o oposto no número natual $n$
  • com $n$ diferente de zero $(n\neq 0)$

Neste caso, o zero vai funcionar como centro de massa, ou o ponto de equilíbrio entre os números positivos e negativos.

Desta forma, obtemos

$$n + n_\star = 0 = n_\star + n$$

para todo número natural $n\in \mathbb{N}.$

Portanto, ao unirmos $(\cup)$ os números positivos e negativos, obtemos um conjunto:

$$\\{\dots, -3,-2, -1\\} \cup \\{0\\}\cup \mathbb{N}$$
Inteiros negativos, zero e positivos.
Negativos, zero e positivos formam ℤ.
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Inteiros negativos, zero e positivos.

Definição: O conjunto dos números inteiros é dada por:

$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\\}$$

Com isso, a representação dos números naturais e números inteiros é dada por:

Conjunto dos naturais com zero contido nos inteiros.
Usamos ℕ com zero: todo natural também é inteiro.
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Conjunto dos naturais com zero contido nos inteiros.

Isto significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.