Euler's Eyes
2026-10-11
Conceito, elementos e classificação
O triângulo é o polígono mais simples e o mais útil: qualquer outro polígono pode ser dividido em triângulos.
Quem descobriu
Triângulos aparecem em ornamentos, construções e cálculos de área desde o Egito e a Mesopotâmia: o papiro Rhind (c. 1650 a.C.) já traz problemas sobre a área de terrenos triangulares. A classificação usada até hoje é de Euclides (c. 300 a.C.). Nas definições I.20 e I.21 dos Elementos, ele separa os triângulos pelos lados — equilátero, isósceles e escaleno — e pelos ângulos — retângulo, obtusângulo e acutângulo.
A história
Os nomes são gregos e descritivos: isósceles quer dizer “pernas iguais”, e escaleno, “manco” ou “desigual”. O triângulo equilátero tem um lugar de honra: é a primeira construção dos Elementos (proposição I.1), feita com duas circunferências e uma régua.
Os Elementos foram copiados à mão por mais de mil anos, traduzidos para o árabe, o latim e o inglês, e impressos pela primeira vez em 1482, em Veneza. É, depois da Bíblia, um dos livros com mais edições da história.
No dia a dia
- Treliças. Telhados, pontes metálicas e guindastes usam triângulos porque eles não se deformam quando os lados são fixos.
- Bicicleta. O quadro tradicional é formado por dois triângulos, o que o torna leve e rígido.
- Sinalização. A placa “Dê a preferência” é um triângulo equilátero de ponta para baixo, e o triângulo de segurança do carro é equilátero.
- Gráficos 3D. Personagens e cenários de jogos e filmes de animação são malhas de milhares de triângulos.
Fontes: Elementos, definição I.20 · Elementos, proposição I.1 · Euclides (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoTriângulo
Dados três pontos $A$, $B$ e $C$ não colineares, a reunião dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ chama-se triângulo $ABC$:
$$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$DefiniçãoElementos
- Vértices: os pontos $A$, $B$ e $C$.
- Lados: $\overline{BC}$ (medida $a$), $\overline{AC}$ (medida $b$) e $\overline{AB}$ (medida $c$).
- Ângulos (internos): $B\hat{A}C$ ou $\hat{A}$, $A\hat{B}C$ ou $\hat{B}$ e $A\hat{C}B$ ou $\hat{C}$.
O lado $\overline{BC}$ e o ângulo $\hat{A}$ são opostos; o mesmo vale para $\overline{AC}$ e $\hat{B}$ e para $\overline{AB}$ e $\hat{C}$.
O interior do triângulo é a interseção de três semiplanos abertos: o de origem na reta $BC$ que contém $A$, o de origem na reta $AC$ que contém $B$ e o de origem na reta $AB$ que contém $C$. O interior é uma região convexa; o exterior (o que não é triângulo nem interior) é côncavo. O triângulo junto com seu interior é a superfície triangular.
DefiniçãoClassificação
Quanto aos lados, um triângulo é:
- equilátero se tem os três lados congruentes;
- isósceles se tem dois lados congruentes;
- escaleno se não tem dois lados congruentes.
Quanto aos ângulos, um triângulo é:
- retângulo se tem um ângulo reto;
- acutângulo se tem os três ângulos agudos;
- obtusângulo se tem um ângulo obtuso.
No triângulo isósceles, o lado não congruente aos outros é a base, e o ângulo oposto a ela é o ângulo do vértice. Todo triângulo equilátero é também isósceles. No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, e os outros dois são os catetos.